Funktionskonstruktion

Betrakta funktionerna g(x)=1-e^(kx) 0<k<1 och h(x)=a ln(bx+1) a>1, b>0. Konstruera en funktion f(x) för x=>0 sådan att det för några tal a1,...,a_n där a2-a1=...=a_n-a_(n-1) gäller att f'(a_i)=0, f(a_i)=g(a_i), f(a_j)=h(a_j) för alla i =/= j.

Hur göra?

Du är mycket oklar med den sista meningen.

Vi har alltså:

g(x)=1-e^(kx) k∈(0,1)
h(x)=a ln(bx+1) a∈(1,∞), b∈(0,∞)

Vidare säger din definition oss att a_n=α*mβ, m∈{1,2,...,n},α∈R, β∈R

Sista raden är dock oklar, fixerar vi ett i? eller ska det gälla för alla i? ska det gälla för alla a_n kommer vi ju få f(a_i)=h(a_i) och f(a_i)=g(a_i) som en följd och det är ju en motsägelse.

Kan du posta en bild på orginaluppgiften?

Det här var nåt jag funderade över själv så jag har ingen originaluppgift, försökte bara definiera allt så stringent som möjligt. Så ok, vi har några punkter a_i och a_j där det gäller att f(a_i) = g(a_i) och f(a_j) = h(a_j) och i =/= j. M a o vi väljer ju ut ett urval av alla punkter a_n, vi har två urval a_i och a_j, det är inte samma punkter. Mer specifikt tänkte jag att a_i är a_1,a_3,a_5 osv, a_j är a_2,a_4,a_6 osv. Förtydligade det?

Just ja, en sak till som jag ser jag glömde. Det gäller att f'(a_n) = 0, och inte f'(a_i) = 0 som jag tidigare skrev. (Iofs gäller det också då a_i ∈ a_n, men hursom...)

Bump. Eller behöver jag definiera tydligare?

Du behöver förtydliga ytterligare tror jag. Kanske lättare om du går tillbaks några steg och berättar hur du kom att tänka på det här, så är det lättare för oss att veta vad f egentligen ska uppfylla?

Ok kan väl ta ett exempel då, fast det är inte lika roligt

Ta då f(x) = ln(x+1), g(x) = 1-e^(x/4). Ta sedan punkterna (1,f(1)), (2,g(2)), (3,f(3)), (4,g(4)) osv. I samtliga dessa punkter a ska det gälla att h'(a) = 0. M a o, nån sorts sinuskurva som ligger mellan f och g och som "vänder" i de nämnda punkterna. Kan väl sätta villkoret h(0) = 0 också.

Hur jag tänkte fram det... först tänkte jag mig nåt problem där man har y^2 = x och ska få fram en sinuskurva som ligger "mellan" den kurvan, dvs en sinuskurva vars amplitud ökar med x. Sen var det bara naturligt att "generalisera" problemet till att anpassa sinuskurvan till två kurvor som inte är symmetriska runt x-axeln

Du skulle kunna ta funktionerna:

L1 = ½(1-cos(pi*x)), som är 1 för udda x, 0 för jämna.
L2 = ½(1+cos(pi*x)), som är 0 för udda x, 1 för jämna.

och låta h(x) = L1*f + L2*g

Vi får då:

h(1) = f(1)
h(2) = g(2)
h(3) = f(3) ...

Denna funktion har dock inte h'(a) = 0, utan tangerar respektive kurva i 1 2 3 ..., dvs h'(a) = f' eller h'(a) = g'.

Edit: Så här ser den ut

No WAY! Hur kom du fram till det där??? Coooooooolt