Logaritmer och exponentialfunktioner

Hej!
Har precis börjat plugga matte c, tittat på ett par övningar som jag inte lyckas lösa...
1. Lös ekvation 5,3 * e^(2x-1)+12 / 13 = 4,2
2. Lös ekvation 3*lg(x/19+3,1) / 7 = 0,2
3. 5000 kronor sätts in på ett bankkonto med räntesatsen 4,5%. På ett annat bankkonto med räntesatsen 3,9% sätts 3000 kr in. Efter hur lång tid är de två saldona lika stora? (VG/MVG)
4. Antag att du vill dubbla dina pengars värde genom att sätta in på en bank i 7 år. Vilken ränta skall du begära?
5. Antalet invånare i en liten by minskar enligt N(x) = 5192 * 1,15 ^-x , där x = antalet år. Hur stor är den årliga procentuella minskningen? (G/VG/MVG)

Uppskattar verkligen om någon kunde lösa eller åtminstånde tipsa...
//Adam

Man löser ut x genom att applicera sådana operationer på vänsterledet som gör att man kommer närmare att ha ett ensamt x kvar. Samtidigt utför man samma operationer på högerledet.

Utgångläge:

5,3×e^(2x - 1) + 12/13 = 4,2

Subtrahera 12/13:

5,3×e^(2x - 1) = 4,2 - 12/13

Dividera med 5,3:

e^(2x - 1) = (4,2 - 12/13) / 5,3

Applicera logaritmen (i bas e), som ju tar ut exponentialfunktionen:

2x - 1 = ln((4,2 - 12/13) / 5,3)

Addera 1:

2x = ln((4,2 - 12/13) / 5,3) + 1

Dividera med 2:

x = (ln((4,2 - 12/13) / 5,3) + 1) / 2

Så där, nu har vi löst ut x. Högerledet får du drittla in på en räknedosa för att se vad det blir.

Ce^(kx) = y
C = startkapital
k = ränta
x = antal år = 7
y = summa av pengar efter x år

y = 2C

Ce^(7k) = 2C
e^(7k) = 2
ln(e^(7k)) = ln2
7kln(e) = ln2
k = ln(2)/7 ≈ 0,099
e^0,099 ≈ 1.104 ⇒ 10,4% ränta

Första bankkontot enligt uttrycket

y = Ca^x ⇒ y₁ = 5000*1,045^x

Andra bankkontot enligt uttrycket

y = Ca^x ⇒ y₂ = 3000*1,039^x
y₁ = y² ⇒ 5000*1,045^x = 3000*1,039^x
ln(5000*1,045^x) = ln(3000*1,039^x)

Använt log-lagen ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

ln(5000) + ln(1,045^x) = ln(3000) + ln(1,039^x)

Log-lagen ln(k^x) = kln(x) ger

ln(5000) + xln(1,045) = ln(3000) + xln(1,039)
ln(5000) - ln(3000) = xln(1,039) - xln(1,045)
ln(5000) - ln(3000) = x(ln(1,039) - ln(1,045))
x = ln(5000/3000)/ln(1,039/1,045)
x ≈ -88,7

Eller snarare, saknar lösning.

Räkna ut invånarantalet för två på varandra följande år och jämför dessa med varandra. Välj till exempel x = 0 och x = 1, räkna ut N(0) och N(1) och bilda kvoten N(1)/N(0) för att få förändringsfaktorn.

Log-lagen ln(x^k) = kln(x) menade jag givetvis.

Dock verkar det ha smugit in en typo när du skrev uppgiften.

Börjar greppa de tack...

Ytterligare övningar gällande ämnet:

1.Grafen till en exponentialfunktion går genom punkterna (1;26) och (4;208).
Vilken är funktionen?

2. Finn alla lösningar till ekvationen x^lg(x) = x^3/100.

Uppgift 1 ritade jag ett koordinatsystem och försökte lösa det genom skärningpunkten vid x o y axeln. Men saken är den att jag behöver många lösningar som jag har nytta till provet.

x^lg(x) = x^3/100
lg(x^lg(x)) = lg(x^3/100)
lg(x)*lg(x) = lg(x^3) - lg(100) = 3lg(x) - 2
lg(x)² = 3lg(x) - 2
lg(x)² - 3lg(x) + 2 = 0
lgx = t
t² - 3t + 2 = 0
t₁ = 1
t₂ = 2
lgx₁ = 1 ⇒ x₁ = 10¹ = 10
lgx₂ = 2 ⇒ x₂ = 10² = 100