*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Han menade nog 1595 dividerat med -0.25. (Såklart!).

En tillämpning, som jag tror finns med i matte E, är att lösa andra ordningens differentialekvationer.

T.ex: Låt säga att vi har massa m hängande i en fjäder (och om detta är för konstlat och "labb"-aktigt för dig, tänk dig att vi har en stötdämpare på en bil.) Låt y(t) vara positionen av fjädern vid tidpunkt t (så att y = 0 svarar mot jämviktsläget.) y(t) uppfyller då en diffekvationen

y''(t) = - ω²y(t)

(där jag har skrivit fjäderkonstanten som k = mω², ω > 0).

Denna fjäder kommer då svänga periodiskt med frekvensen ω/(2π). So far so good.

Säg nu att vi inte vill att fjädern ska svänga upp och ner hela tiden, så vi beslutar oss för att dämpa svängningen. (För en stötdämpare på en bil är detta en väldigt, väldigt vettig sak att göra.)

Så låt oss sätta en anordning på fjädern som ger en kraft proportionell mot dess fart, riktad mot dess rörelse. Intuitivt borde ju detta ge en svängning som avtar efter hand.

Den nya diffekvationen blir

y''(t) = - 2ay'(t) - ω²y(t).

för a någon proportionalitetskonstant a (som alltså beskriver hur stark vår dämpande kraft är.)

En väldigt naturlig fråga man kan ställa sig är: hur snabbt kommer detta avtagande ske?

Svaret, visar det sig, är att amplituden på svängningen kommer gå som e^-(at), men bara så länge a < ω. Vid a > ω, så kommer den istället gå som e^((-a+ sqrt(a² - ω²))t), och alltså går dämpningen då långsammare när man ökar a (eftersom -a + sqrt(a² - ω²) ökar med ökande a, vilket man t.ex kan se om man plottar det). WTF liksom?

Notera alltså att det här är ett problem som är helt formulerat i reella termer, och det går också att lösa utan att blanda in komplexa tal (men allt blir mycket krångligare), men jag tror det är genuint svårt att första varför det blir som det blir utan att förstå de komplexa talen.

(Svaret på varför skulle jag säga är att det visar sig att exponetiellt avtagande med imaginär exponent svarar mot periodisk svägning, så när a < ω så blir sqrt(a² - ω²) imaginärt, och bidrar då till den periodiska svängningen snarare än dämpningen.)

Och notera att det alltså är så att a = ω ger den snabbast avtagande svägningarna. Detta fall kallas för kritisk dämpning, och är av uppenbara skäl väldigt intressant om du ska bygga t.ex. stötdämpare för bilar.

Detaljerna för det här exemplet får nog vänta tills du gjort lämpligt kapital i matte E.

vet nån vad maximipunkten till funktionen y = (x2 + 3)/(x-1) är?

Derivera funktionen och ansätt y=0.

Tack för ditt lång och utförliga svar! Kul att se att det faktiskt finns lite roliga tillämpningar på det. Men tyvärr har jag ännu inte gett mig in i differentialekvationernas värld, utan är bara på första kapitlet som behandlar komplexa tal.

Matematik C, D och E, verkar ju vara matematikkurserna som handlar mycket om analysen. Lär man få se fler kurser på gymnasiet, efter E-kursen, som handlar om analysen? Eller är det slut efter det?
Har funderat på att läsa högskolekursen linjär algebra efter E-kursen, men vet inte riktigt hur mycket av det roliga (analysen) man träffar på där? Är det kanske bättre att läsa en- och flervariabelanalys istället? Dessa tre högskolekurser, linjär algebra, en-, och flervariabelanalys, är dem lika stora, dvs. tar dem ungefär lika lång tid att läsa? Om man skulle översätta högskolepoängen för dem till gymnasiepoäng, skulle det då motsvara kring 100p?

Tveksamt om man får lära sig om andra gradens diffar i MaE.

Men för att ge ett litet hum om vad som försigår. Anledningen till att man inför de komplexa talen är ju att de reella talen inte har egenskapen som kallas algebraisk slutenhet. Det vill säga, om jag har en polynomekvation med reella koefficienter så behöver den inte ha reella lösningar. Ekvationen x^2 + 1 = 0 har ju inga reella lösningar. Om man inför komplexa tal visar det sig dock att alla polynom, även de med komplexa koefficienter, har lösningar bland de komplexa talen. (Rätt antal också.) Varför vill man ha algebraisk slutenhet? Jo, det visar sig att en del problem leder till polynomekvationer, och att de har lösningar och rätt antal lösningar visar sig vara nödvändigt för att bevisa eller utnyttja trevliga egenskaper hos objekt.

Hur hänger det ihop med diffekvationer då? Jo, om man har ekvationen y'' + by' + cy = 0 och gissar att en lösning är e^rx, där r är någon konstant, så kan man derivera och sätta in och få r^2e^rx + bre^rx + ce^rx = 0 = e^rx(r^2 + br + c) = 0. Alltså gäller att antingen e^rx = 0, vilket inte går, eller att r^2 + br + c = 0. Det är en polynomekvation i r, så e^rx är en lösning omm r löser ekvationen, som kallas för den karaktäristiska ekvationen.

Om man inte tillåter komplexa r så kanske man inte får några lösningar. Ekvationen y'' + y = 0 har den karaktäristiska ekvationen r^2 + 1 = 0, som inte har reella lösningar. Men funktionerna y = cos(x) och y = sin(x) löser differentialekvationen. Om vi tillåter komplexa tal får vi dock att lösningarna ges av e^(+- ix) = cos(x) +- i*sin(x). Nu har diffekvationen den trevliga egenskapen att summan av två lösningar och en lösning gånger en konstant också är lösningar (den är linjär och homogen). Om vi tar till exempel (e^ix - e^-ix)/2i = sin(x) och (e^ix + e^-ix)/2 = cos(x) får vi två reella lösningar.

Samma metod funkar naturligtvis om man har en differentialekvation av högre ordning, säg

y^n + k_(n-1)y^(n-1) + .. + k_0y = 0 (1)

som om man inför beteckningen D för för deriveringsoperatorn kan ses som en formell polynomekvation

(D^5 + aD^4 + bD^3 + cD^2 + dD + e)y = 0

i D. Algebrans fundamentalsats säger att ekvationen har fem lösningar (räknade med multiplicitet). Men den satsen kräver som vi såg att man använder komplexa tal. Då ger faktorsatsen att man kan (formellt) kan skriva polynomekvationen (1) som (D-r_1)(D-r_2)*...*(D-r_n)y = 0. Nu vet vi att (D-r)y = 0 om y = e^rx, så det kan vi säga är att differentialekvationen har n lösningar på formen e^rx. Men om man har flera av samma faktor då? Får man färre lösningar?. Nej, för man kan visa att om en rot förekommer flera gånger i faktoriseringen, säg att den är (D-r)^k, löser x^j*e^rx ekvationen, om j är ett heltal och 0 <= j < k. Det finns alltså alltid exakt n "olika" (den formella termen är linjärt oberoende) lösningar till ekvationen (1), men för att få ut dem på ett enkelt sätt måste man tillåta att man löser algebraiska ekvationer med komplexa tal, och att man definierar e^z för komplexa tal z.

Nu hamnade vi dock rejält över Matte E. Men det är i alla fall ett exempel på varför det matematiskt är smart att införa komplexa tal. Det är nog svårt att ge riktigt bra exempel på matematiska tillämpningar av komplexa tal med bara Matematik E. Två vanliga exempel på fysikaliska tillämpningar är växelström och kvantmekanik.

Den komplexa exponentialfunktionen dök upp här. Den är väldigt trevlig att handskas med. Du vet ju säkert att e^ix = cos(x) + i*sin(x). Men eftersom de vanliga exponentiallagarna gäller, så gäller det att e^i(x+y) = e^ix*e^iy. Om du utvecklar produkten, vad får du då?

Din skola kanske erbjuder matematik breddning. Den kan innehålla mer om analys men behöver inte göra det. Matematik diskret innehåller ingen analys, men är mycket nyttig inför högskolan.

Linjär algebra är roligt när man börjar träffa på de mer abstrakta begreppen. I början är det bara en massa räknande med massa tal hit och massa tal dit och multiplicera det här addera det där... I princip lär du dig koncis notation för omfattande räkningar, men du måste ändå skriva ut alla räkningarna när du löser saker. Ska du läsa flervariabelanalys är dock linjär algebra nästan ett krav. Om man till exempel vill genomföra variabelbyte i en dubbel- eller trippelintegral behöver man kompensera för det på något sätt och hur det går till behöver man verktyg från linjär algebra för. Du känner säkert till kedjeregeln d/dx f(g(x)) = f'(g(x))*g'(x). Men tänk om jag har en funktion av k variabler, g(x_1, x_2, ..., x_k) som ger en vektor (g_1, g_2, ..., g_n) och en annan funktion av n argument, f(g_1, g_2, ..., g_m). Kan jag derivera sammansättningen f(g(x))? JA, det kan man, och kedjeregeln ser exakt likadan ut, om man bara ersätter den enkla envariabelderivatan med jacobianen (en matris med alla derivator)

J(f(g(x)) = J(f(x))(g(x))*J(g(x))

det vill säga, ta derivatorna av f, beräkna dem i punkten g(x) och (matris)multiplicera med derivatorna av g.

Sen smälter man dock ihop linjär algebra och analys när man börjar se funktioner som vektorer och definierar till exempel ortogonala (vinkelräta funktioner), projektionen av en funktion på en annan och baser (koordinatsystem) för funktioner (de har för övrigt oändligt många koordinater). För att låna en fras från dbshw, WTF liksom?

Jag vet inte riktigt hur det är på andra universitet, men i Umeå ges Envariabelanalys I och II, Flervariabelanalys och Linjär algebra som kurser på 7.5 hp, alltså fem veckor var. Man räknar då med att det ska vara fem veckor heltidsstudier, alltså 40 timmar per vecka, alltså 200 timmar per kurs. 100 p på gymnasiet ska motsvara 90 timmar lektioner. Då är inte egna studier (eller läxor) inräknade. Hur mycket tid man faktiskt behöver (eller spenderar på att plugga istället för att fika och supa ) varierar ju. Jag kan ju säga att jag knappast lade 40 timmar i veckan på Envariabelanalys I...

Tack för ditt svar! Högskolematten lär säkerligen inte vara lika simpel som gymnasiematten.

Nej. Diskret handlar ju om diskret matematik. Matematik breddning som finns här och var kan (som namnet också antyder) handla om lite allt möjligt, även t.ex. analys. Men det beror ju på så att säga.


Cirka nada skulle jag tippa. Däremot kommer du ju behöva det för att förstå den "ännu roligare" analysen.


Det beror väl egentligen helt på dina intressen. Om du i framtiden vill syssla med vad som helst som involverar mer matematik än typ hemkunskapslärare så kommer du nog behöver lära dig alla tre kurserna förr eller senare ändå. Jag tror envariabelsanalys och linjär algebra är av ungefär samma svårighetsgrad i allmänhet, men det varierar nog mycket från person till person vad man tycker. (Flervariabelsanalys kräver nog att man har gått envariabeln först, så är svårare på så sätt.)


Det beror helt på upplägget (matematik är ett väldigt, väldigt stort ämne; kurserna är av nödvändighet bara ett litet urval av det som skulle kunna falla under beteckningarna "linjär algebra", "envariabelsanalys", osv., och det varierar förstås hur mycket man väljer att ta med.) Men typiskt så brukar så vara fallet.


Det är nog svårt att säga. Innehållsmässigt motsvarar dom var och en mer än alla gymnasiekurser i matematik tillsammans, men eftersom man så att säga blir bättre på matte med tiden så lägger nog de flesta inte ner lika mycket tid som man gjorde på matten på gymnasiet. Nominellt så kurserna vara på 7,5 hp ± 3 hp, så säg 5 veckors heltidsstudier. Men hur mycket tid folk faktiskt lägger på det tror jag är väldigt, väldigt individuellt.

Spontant känner jag dock att de nog är en bra bit "tyngre" än 100p på gymnasiet.

Han menade multiplikation, men utförde division, och det var det som gjorde att uträkningen blev fel. Jag är tydligen riktigt jävla dålig på subtila vinkar.

Kollade adlibris (http://www.adlibris.com/se/searchres...mproduct=False) för att se vad som fanns inom breddning och det visade sig vara: linjär optimering, matriser, vektorer och sannolikhetslära. Vilka av dessa, förutom sannolikhetslära (?), bör man läsa om ens intresse ligger i analysen?

Vad gäller envariabel och linjär algebra beror det nog på vad kursen fokuserar på. I linjär algebra är det ju i princip aldrig någon faktiskt räkning som är svår. Allt man behöver räkna kan man göra i huvudet: det är multiplikation och addition av bråk. Har man "otur" måste man ta en kvadratrot någonstans. I envariabelanalysen kan du dock råka ut för någon vidrig integral. (Speciellt om läraren gör som en lärare här: hitta på en funktion, integrera den med Mathematica, resultatet blev ju ganska snällt, det här borde inte vara så svårt; den tar vi med på tentan. Lösningprocent på uppgiften: 0 % ) Om föreläsaren i linjär algebra väljer att lägga mer vikt på abstrakta begrepp och bevisföring kan det bli svårare. Å andra sidan är bevis i linjär algebra oftast inte så krångliga, men att smälta alla abstrakta begrepp kan vara ovant.

Jag läste flervariabelanalys och linjär algebra samtidigt. Ingen tvekan om att flervariabelanalysen var mycket svårare. Det kanske har att göra med att vi hade universitetets jävligaste föreläsare i flervariabelanalysen (samma som ovan). Av kanske närmare 200 på kursen var det bara strax över 100 som skrev ordinarie tenta och bara 40 % av dem som blev godkända.

Du kommer behöva matriser och vektorer om du vill fortsätta med analysen. Verktygen man får och generaliseringar av dem är extremt användbara. Jag ändrade mitt första inlägg och tog med lite exempel på det, såg du det? Om man till exempel ska lösa differentialekvationer eller system av dem blir det praktiskt att använda sig av matris- och vektornotation och -verktyg. Även begrepp som linjärkombination och linjärt oberoende får man användning av.

Hon menade precis så, ja. Utöver allt annat jag tänkte galet på, vet inte riktigt hur jag fick ihop det där. Som sagt, röjt igenom Matte D på två veckor,tror det börjar ta ut sin rätt.

Tack för hjälpen du med! Nu har jag bara två tal kvar, sen är kursen officiellt färdig sånär som på en muntlig examination.