1. Prop: Let F be an extension field of K, and let u in F be algebraic over K. Then there exists a unique monic irreducible polynomial p(x) in K[x] such that p(u)=0. It is characterized as the monic polynomial of minimal degree that has u as a root. Furthermore, if f(x) is any polynomial in K[x] with f(u)=0, then p|f.
Proof: Let I be the set of all polynomials f(x) in K[x] such that f(u)=0. ...Thus I is an ideal of K[x], and so I = <p(x)>... I is a prime ideal. This implies that the unique monic generator p(x) of I must be irreducible.
Hur då? <p(x)> är ett primideal om, för f,g i K[x], fg i <p> implicerar f i <p> eller g i <p>. Är det för att p(x) är det polynom av lägst gradtal, och att det skulle strida mot definitionen av p om p kunde faktoriseras ytterligare som produkt av lägregradspolynomen f,g?
2. Prop: Let F be an extension field of K, and let u be in F. If u is transcendental over K, then K(u) ~= K(x), where K(x) is the quotient field of the integral domain K[x].
Proof: Define f:K[x]->F by f(p(x))=p(u), for all p in K[x]. This defines a ring hom, and ker(f) is the set of all polynomials p with p(u)=0. The image of f is a subring of F consisting of all elements of the form a_0 + ... + a_n u^n, and it must be contained in every subring of F that contains K and u. In particular, the image of f must be contained in K(u).
If u is transcendental over K, then ker(f)={0}, and so the image of f is iso to K[x]. Since F is a field, by Thm 2 [inlägg tidigare] there exists an iso t from K(x) into F. Since every element of t(K(x)) is a quotient of elements that belong to K(u), it follows that this image must be contained in K(u). Then since t(K(x)) is a field that contains u, it must be equal to K(u).
Jahopp... Om man nu ska använda Thm 2 börjar jag med att införa f:K[x]->F enligt ovan, och g:K[x]->K(x) defn av g(X)=X/1. Thm 2 ger nu att det finns en injektiv homomorfi h:K(x)->F, analogt med Thm 2 sätter jag h(X/Y) = f(X)/f(Y) = X(u)/Y(u).
h är surjektiv om elementen i F är på formen X/Y för några X,Y i K[x], men F är ju godtycklig kropp så hur ska man veta om de är på den formen eller inte...
Sen sista meningen där, varför är t(K(x)) nödvändigtvis lika med K(u) bara för att t(K(x)) innehåller u?
Måste även fråga; eftersom Q(sqrt2) = { a+b*sqrt2 | a,b tillhör Q }, kan man då mer generellt skriva att K(u) = { a+bu | a,b tillhör K } ?
. Men hur gör jag det?
