Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Språkförbistring på hög nivå alltså... Men ok, det förklarar en del, men då är det fortfarande ena delen jag inte förstår. Nu skriver jag uttryckligt för att undvika språkförbistring:
Påstående: If p|fg implies p|f or p|g, then p is irreducible.
Bevisas av: If the given condition holds [i.e., p|fg implies p|f or p|g], then p =/= fg for polynomials of lower degree, since p does not divide f and p does not divide g.
Först tolkade jag detta som att det givna villkoret var att p irreducibel. Jag tyckte då det var rimligt att p inte delar fg eller f,g, och du nämnde logisk implikation, och då tyckte jag det var rimligt. Nu är jag återigen lost.
Vi ska alltså visa att p är irreducibel, dvs "it cannot be factored in F[x] into a product of polynomials of lower degree". Men det vet vi alltså inte ännu, så då är det väl fritt fram att anta tills vidare att p faktiskt kan skrivas som produkten av två polynom, säg f,g så att p=fg. Då gäller p|fg, närmare bestämt fg/p = 1.
Jag försöker återföra det hela på logiken du nämner, men får inte alls till det. Vi antar p|fg, och att detta implicerar att p delar både f och g. Beviset fortlöper med att p INTE är fg för några polynom av lägre grad. Does not make sense one last bit to me. Att p|fg och p|f,p|g förstår jag inte hur det är ett hinder att p skulle kunna skrivas som fg.
AAAAA
Påstående: If p|fg implies p|f or p|g, then p is irreducible.
Bevisas av: If the given condition holds [i.e., p|fg implies p|f or p|g], then p =/= fg for polynomials of lower degree, since p does not divide f and p does not divide g.
Först tolkade jag detta som att det givna villkoret var att p irreducibel. Jag tyckte då det var rimligt att p inte delar fg eller f,g, och du nämnde logisk implikation, och då tyckte jag det var rimligt. Nu är jag återigen lost.
Vi ska alltså visa att p är irreducibel, dvs "it cannot be factored in F[x] into a product of polynomials of lower degree". Men det vet vi alltså inte ännu, så då är det väl fritt fram att anta tills vidare att p faktiskt kan skrivas som produkten av två polynom, säg f,g så att p=fg. Då gäller p|fg, närmare bestämt fg/p = 1.
Jag försöker återföra det hela på logiken du nämner, men får inte alls till det. Vi antar p|fg, och att detta implicerar att p delar både f och g. Beviset fortlöper med att p INTE är fg för några polynom av lägre grad. Does not make sense one last bit to me. Att p|fg och p|f,p|g förstår jag inte hur det är ett hinder att p skulle kunna skrivas som fg.
AAAAA
Okej, låt oss bena ut det här ordentligt.
Namnge påståendena:
(1): Om p | fg för några f,g, så gäller p|f eller p|g.
(2): p är irreducibel.
(2) är per definition ekvivalent med
(2a): Om p = fg för några f,g, så har antingen f eller g samma grad som p.
Skriv också
(3) p = fg
(4) f eller g har samma grad som p.
Vi vill bevisa att (1) => (2).
Så antag att (1) gäller. Vi ska bevisa (2). Med andra ord ska vi bevisa (2a).
Om vi antar (3) och ur detta antagande kan bevisa (4), så har vi bevisat (2a).
Så nu är vår uppgift som följer: Vi har antagit att (1) och (3) gäller, och ska bevisa (4). Kan vi göra det är vi klara.
Vi vet att p=fg. I synnerhet gäller att p|fg. Då följer (av (1)) att p|f eller p|g.
Om p|f så gäller att deg f ≥ deg p. Naturligtvis har vi också f|p, så deg f ≤ deg p. Alltså är deg f = deg p.
Om p|g så gäller deg g ≥ deg p. Naturligtvis har vi också g|p, så deg g ≤ deg p. Så deg g = deg p.
Oavsett vilket alternativ så har vi alltså att antingen f eller g har samma grad som p. Alltså är vi klara med beviset.
(Ovanstående är inte helt korrekt, för man måste dessutom anta att p är nollskilt. Men den detaljen är ganska oväsentlig för huvudidén för beviset.)
