*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Tack för svar, men jag ville ha gult under grafen ner till x-axeln. Kanske inte går?

Oj! Har precis börjat med gränsvärden så hänger inte med alls här. Får vänta med den uppgiften. Står inte med i programplanen så antar att det inte är meningen att vi ska kunna den än men tack ändå.

Hur tänkte du nu?

Om du har en talserie som är 1, 2, 3, 4 så har du givetvis en talserie där nästkommande tal följer n=n+1, vilket givetvis kan bevisas med att du har n äpplen och du sedan tillför 1 äpple så får du n+1 äpplen. Det är inget axiom. Axiom är antaganden man har fört in för att underlätta matematik och fysik.

Något i stil med detta kanske?

MS Excel är lite ”vassare” på diagram med sina förinställda "effekter" så om du har detta program kan det vara en möjlighet att skapa diagram. Men det mesta går i Mathematica.

Jag hade personligen velat ha lite ”luft” och skrivit
Mitt öga tål ej att (1,0) är ”origo” …

Då avståndet 0-1 då är kortare än 1-2 föranleder detta att man eg. borde ha en sick-sack-linje eller likn. Här är en längre utläggning om hur man skulle kunna göra detta
https://mathematica.stackexchange.co...is-in-listplot

OK. Asymptoter brukar komma efter gränsvärden (Taylor-utvecklingen i Alt. 2 kommer dock ännu senare i de flesta kurser), men beroende på kurs kanske det kan variera. Idag är många kurser baserade på verktyg som Geogebra och då kanske man skall prova sig fram med värden, men exakt blir det aldrig då.

Det skulle vara intressant att ”gå om” gymnasiematten idag. Mycket har säkert ändrats från min tid och jag är numera en (matematisk) dinosaurie… T.ex. TI-Nspire på iPad fanns bara i drömvärlden på min tid. Vi hade kurvmallar…Goda tider!

[Alternativt kan man utnyttja en serieutveckling i Laurent-stil för att lösa den knepiga delen av uppgiften.]

Antag att linjen y = kx + m är asymptot till kurvan y = f(x) = x.arctan(2x), så att

f(x) - (kx + m) går mot noll då x → ∞

1. Division med x ger

f(x)/x - (k + m/x) = arctan(2x) - k - m/x
→ arctan(∞) - k
= π/2 - k, då x → ∞.

2. Sätter in värdet k = π/2 i nästa steg:

f(x) - (kx + m) = x arctan(2x) - πx/2 - m.

Hittade följande serieutveckling i H. B. Dwight, Tables o Integrals and other Mathematical Data (sid 113)† :

tan⁻¹(x) = π/2 - 1/x + 1/(3x³) + …, vilket ger

x.arctan(2x)
= x(π/2 - 1/(2x) + O(1/x³)) = (πx/2 - 1/2 + O(1/x²))) - (πx/2 + m)
= - (m + 1/2) + O(1/x²)

och

f(x) - (kx + m)
= x(π/2 - 1/2x+ O(1/x³)) - πx/2 - m
= πx/2 - 1/2 - πx/2 - m + O(1/x²)
= - (m + 1/2) + O(1/x²)

3. Linjen y = kx + m är alltså en asymptot då k = π/2 och m = -1/2.

Ekvation: y = πx/2 - 1/2.
Bild: https://i.imgur.com/mLkpwnl.png
----------
† Se https://www.dce.uni-sofia.bg/shares/...0Integrals.pdf

Intressant lösning.

Trevlig bok.

https://sv.wikipedia.org/wiki/Peanos_axiom

Kan du ge ett exempel på ett axiom?

Nja, skulle jag säga på den om man ska vara riktigt petig. Det faller inom kategorin "vilket lätt inses", men det går att bevisa genom axiom om man verkligen vill.

Om vi utgår från Peanos axiom kanske man kan göra på följande sätt:

"Större än" är en funktion > : N x N -> B (B för boolean)
a + 0 > a = F
a + b > a = ( b != 0 )

Detta förutsätter ju förstås att addition redan är definierat och så lattjade jag lite. Utan att ha definierat addition kan vi göra så här:

S(a) > a
a>b & b>c => a>c (transitivitet)

Hävdar inte att allt ovanstående är fullständigt korrekt. Kan mycket väl ha gjort något slarvfel. Jag illustrerar bara att det definitivt följer av axiom att 2>1 och att det inte är något axiom i sig. Det följer direkt av S(a)>a eftersom S(1)=2. För att bevisa 3>1 behöver du även transitiviteten.

Fast ska det gälla allmängiltigt ska du ju bevisa det för samtliga tal i talföljden?

Hur menar du? Kan du ge ett exempel där ovanstående inte skulle gälla?