*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Jag vet inte om jag besvarar din fundering. Hur som helst: Alla tal är en produkt av primtal. Till exempel:

253 = 11 * 23
254 = 2 * 127
255 = 3 * 5 * 17
256 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2
257 = 257
258 = 2 * 3 * 43

Av de ovanstående talen är endast 257 ett primtal. De övriga är inte primtal eftersom de är produkter av andra tal.

EDIT: tvåa på pucken

Detta primitiva diagram kanske kan hjälpa till att förklara.
Den svarta pilen får representera hela reella tallinjen, den gröna strimman där x=0 och den röda linjen det område där x ≤ 0

Den första implikationen, x=0 ⇒ x ≤ 0, säger att om man placerar x på den gröna strimman ligger den också inom det röda området. Detta är sant, då den gröna strimman ingår i det röda området. d.v.s. om x är lika med noll ingår x också i den mängd reella tal där x är mindre än eller lika med noll.

Den andra implikationen, x≤ 0 ⇒ x = 0, säger att om man placerar x någonstans i det röda området ligger den också på den gröna strimman. Detta är inte sant. Om vi sätter x så att det ligger någonstans till vänster om den gröna strimman så ligger den på det röda området, men inte på den gröna strimman. Uttryckt annorlunda, bara för att x är mindre än eller lika med noll så måste inte x vara lika med noll. x kan lika gärna vara -1, -2 eller något annat negativt tal.

a) x=0 ⇒ x ≤ 0

x = 0 betyder att x = 0
x ≤ 0 betyder att x = 0 eller att x < 0

Påståendet är att om x=0 så är x ≤ 0

Är påståendet sant?
Utgå från att x=0 är sant!
Stämmer det då att x ≤ 0 ?
Ja det gör det eftersom x ≤ 0 kan betyda att x = 0

b) x≤ 0 ⇒ x = 0

x ≤ 0 betyder att x = 0 eller att x < 0
x = 0 betyder att x = 0

Påståendet är att om x≤ 0 så är x = 0

Är påståendet sant?
Kan det finnas något x som gör att påståendet inte är sant? Ja det finns. Till exempel x = -1.
Om x = -1 så är x≤ 0
Men x = 0 stämmer inte.
Alltså stämmer inte påståendet x≤ 0 ⇒ x = 0

EDIT: tvåa på pucken

visa att sqrt(1+x^2) är irrationellt för naturliga tal x.

har trixat lite men kommer egentligen ingen vart. Samma strategi som förut att anta det är rationellt.

sqrt(x^2+1)=p/q
x^2+1=p^2/q^2
x^2=p^2/q^2-1
x=sqrt((p/q)^2-1)

men vet inte om jag är något på spåren?
(p/q)^2>=1 i alla fall kan man konstatera annars annars blir det komplext tal

Kan man försöka med induktion, det uppenbart sant för x=1 (sqrt2 irrationellt.) och sedan visa det är sant för k+1 för något heltal k?

Om jag sätter in k+1 får jag,

sqrt(2+2k+k^2) , är detta till någon hjälp?

Eftersom x^2+1 inte är en perfekt kvadrat använder du följande metod
https://m.youtube.com/watch?v=HqpDPDbVYlM

Pluto har en omloppstid på 90557,60 dagar och Pluto rör sig i en ellips.

Hur konverterar jag Plutos rörelse i ellipsen från grader till dagar? Om det hade varit en cirkel så hade jag ju bara tagit 90557,60/360 = 251,55 dagar per grad i cirkeln - och multiplicerat det med 77 grader för att få fram hur många dagar det tar att färdas 77 grader. Men nu har jag ju en ellips!

När Pluto färdats 77 grader i ellipsen - hur många kalenderdagar motsvarar det?

Ps. Det framgår inte om det är ap/perihelion/vad startpunkten är.

Var det inte Johannes Kepler som sa att den översvepta ytan på en viss tid är konstant. Översvepta ytan = den yta som begränsas av de tre sträckorna:
* Plutos bana under denna tid
* Linjen från solen till Pluto vid tidens början
* Linjen från solen till Pluto vid tidens slut

I så fall blir det fler grader per dag när Pluto är nära solen, än när Pluto är långt bort från solen.

snabb fråga, är tex sqrt(2)x^2+3x+1 ett polynom eller är det bara heltal framför x-termerna för att det ska vara ett polynom?

Med polynom menas en funktion av formen
f(x) = a(n)*x^n + a(n-1)*x^(n-1)+...+a(1)*x+a(0)
Vi antar att koefficienterna a(0), a(1), ... , a(n) är reella tal.

Källa: Arne Persson och Lars-Christer Böiers

(x^3) + (x^2) + 1 = 0

Hur lösa ut alla x?

Gäller detta även om Pluto färdas med en icke-konstant fart? Skäms för att medge att jag inte vet om farten beror på himlakroppens läge i omloppsbanan samt omloppsbanans excentricitet. Verkar dock rimligt att det saknas information för att lösa uppgiften.

Lyckades inte komma på någon snygg förenkling. Allt jag landade i var den jobbiga ekvationen x²(x+1) = -1 , så jag använde Cardanos formel:
Utför substitutionen x = t - 1/3
(t - 1/3)³ + (t - 1/3)² + 1 = ... (förenkling) ... = t³ - 1/3*t + 29/27 = 0
Bilda termen D = ((-1/3)/3)³ + ((29/27)/2)² = -1/729 + 841/2916 = 31/108 > 0
Eftersom D > 0 har ekvationen endast en reell rot
Roten är då: cbrt(-(29/27)/2 + sqrt(31/108)) + cbrt(-(29/27)/2 - sqrt(31/108)) ≈ -1,13
cbrt är tredjeroten och sqrt är kvadratroten

Min TI-82:a ger dock roten -1,47, så jag har säkert gjort ett slarvfel någonstans.
Det är dock tydligt att det endast finns en reell lösning och att den är negativ.