*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hade en till fråga här:

Angående att härleda derivatan av ln X.

Det sista steget här som jag har grönmarkerat - https://imgur.com/z1P4gM2


Jag förstår att det längst till vänster i parentesen måste bli ln 2 som = 1, därav 1 * 1/x = 1/x

Min fråga är, hur blir ln (1 + h/x) blir till ln(2). h/x när h -> 0 blir ju inte 1?

Denna kräver troligen att man 'vet' att \(\ln(1+y)/y\approx1\) för \(y\) nära noll. Att använda Taylors formel går ej då det kräver kunskap om derivatan av \(\ln\)-funktionen.

I det här fallet är det enklare att först lära sig (och bevisa) derivatan av en invers samt känna till derivatan av \(e^x\);

Med \(y=\ln(x) \Leftrightarrow x=e^y\) har vi att
\[
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\ln(x)
=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}
=\frac{1}{\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}}
=\frac{1}{\frac{\mathrm d}{\mathrm dy}x}
=\frac{1}{\frac{\mathrm d}{\mathrm dy}e^y}
=\frac{1}{e^y}
=\frac{1}{x}.
\]

Månsson/Norbeck ger att bra bevis på sidan 217 (Sats 10.4) in sin bok.

Tusen tack för båda dina svar, är helt med på hur du menar. Guldvärt!

Såg någon göra en härledning på detta sätt , https://imgur.com/Bo68Ns4


Är det samma sak som att härleda genom att använda f ((x+h) - f(x))/h ?

Bilden är samma sak, ungefär.
Notera skrivfelet "xy=1".

Det är inte exakt samma sak som diff.kvoten ( f(x+h) - f(x) )/h. För den typen av bevis, se Månsson/Nordbeck.

Jag ska multiplicera uttrycket 1/x^5 med fyra.

4* (1/ x^5)

Jag tror att 1:an blir 4, x blir 4x, fast exponenten bör väl adderas med 4, så den blir 9?

4 / 4x ^9

Eller?

Kan man säga att heltalen modulo n är den delmängd av heltalen?

Okej då är jag med.Tackar! Dom använder dock ( f(x+h) - f(x) )/h. i facit så det är nog det jag måste utgå ifrån för tentan!

Tusen tack för båda dina svar, är helt med på hur du menar. Guldvärt!

Såg någon göra en härledning på detta sätt , https://imgur.com/Bo68Ns4


Är det samma sak som att härleda genom att använda f ((x+h) - f(x))/h ?

Om du har Månsson/Norbeck så läs deras bevis. Det är enkelt och prydligt.

Nordbeck.

Tack för det! Det underlättar om man stavar fel om någon sedan skall googla!

Förstår inte vad du menar, du kan inte dela en mängd.