Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
  1. Vetenskap & humaniora
  2. Fysik, matematik och teknologi
  3. Matematiska och naturvetenskapliga uppgifter

*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Svara
2020-10-18, 20:27
  #99373
Silverkula
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Silverkula
Har en fråga som handlar om kretsanalys. Närmare bestämt så ska jag bygga ett larm som utlöses genom att kondesatorns kapacitans ändras då objekt är nära den. Vanlig seriekrets gäller, likström och valfri mängd resistorer.

Jag har data för hur spänningen förändras över kondesatorn när den urladdas genom en resistor på 20G ohm vid olika tidpunkter.

Jag ska bestämma:
a) spänningen över kondensatorn och strömmen genom resistorn vid tidpunkt t.
b) Kondesatorns kapacitans.
c) Den tid det tar innan kondensatorns laddning minskat till hälften.
(d) Effektutvecklingen i resistorn vid tiden t.
(e) Värmeenergin som utvecklas i resistorn under tiden 0≤t≤0.1s samt totala värmeenergin som utvecklats då kondensatorn urladdats helt. Använd resultatet i (d).

Jag har börjat med a där jag tänker såhär: Vill hitta spänningen (kallar den U) vid tid t så vill hitta U(t). Kallar ström i och kondesorn K. strömmen för resistorn iR= U/R (ohms lag). för kondensorn är strömmen iK=K*dU/dt. Enligt Kirchhoffs strömlag blir all ström ut ur en nod = 0 så om man tänker sig att ström flödar ut från en nod åt vänster till resistorn och åt höger till kondensorn ska dessa bli 0, alltså iR + iK = 0, eller U/R + K*dU/dt = 0. Detta är en ODE och lösningen är U(t) = ke^(-t/RC) vilket jag får att lösningen för vad spänningen är vid valfri tidpunkt. Strämmen var ju i=U/R så i(t) blir samma fast dividerat med R, alltså i(t) = k/R*e^(-t/RC). Har jag tänkt rätt eller?

Kapacitansen får man fram genom att ta laddningsmängden delat med spänningen men hur får jag reda på laddningsmängden? Och spänningen förändras ju hela tiden. Menas kapacitansen då t = o, alltså precis när laddningsmängden börjar neutraliseras i kretsen?
Någon som är haj på ellära som kan hjälpa lite?
Citera
2020-10-19, 10:32
  #99374
papperskula
Medlem
papperskulas avatar
Ska bestämma derivatan av ln(x) med derivatans def, inser att svaret inte är rimligt men ser inte vad jag gör för fel rent räknemässigt:

ln(x+h) - ln(x) / h = ln((x+h)/x) / h = (x+h)/x / e^h = (x+h)/x(e^h)

petar jag in h→0 här så går täljaren mot x och nämnaren mot x , x/x = 1
Citera
2020-10-19, 11:00
  #99375
melyhna
Medlem
Basic trignometri i komplex analys.

Om jag ska lösa tex uppg: cot(z) = A (*)

och vill hitta alla lösningar till den. (Försöker tänka ut ett 'recept')
Då tänker jag något följande:

1.cot = cos/sin
2. cos kan man skriva i polär form (tror det heter det? hjärnsläpp) a la: e^{iz}+e^{-iz}
3. sin skrivs : e^{iz}-e^{-iz}
4. därför: cot = (e^{iz}+e^{-iz}) / (e^{iz}-e^{-iz})
5. Så (*) = (e^{iz}+e^{-iz}) / (e^{iz}-e^{-iz}) = A

Tänker jag rätt då, eller är det helt beroende på vad A är? (tänker om det kanske är bråktal, heltal, ±i)
Citera
2020-10-19, 12:04
  #99376
melyhna
Medlem
Beräkna integraler tips & tricks, plsss!

Integraler som dessa http://www.bilddump.se/bilder/202010...248.57.168.png

om jag tar tex denna och skriver i min lilla kokbok ^^hehe. så förstår jag inte

1) "nothing the symmetry of the integrand with respect to x=0 we can write....:"
2) i andra steget när de har flyttat ut 1/2 utanför integralen, vad är det som gör att den kan hoppa ut?
3) och varför är den centrerad i zero? den borde u isåfall typ "starta" vid zero?
4) vad är vitsen med att veta att dominator's degree is 4 (för sedan ta 4-0 (den 0 kommer väl från steg 3?) => 2 ? vad kommer den tvåan ifrån? xD
5) hur ska man tänka när man ritar upp sånt här?

Inlägget kanske ser mkt ut, men jag tror inte det är så avancerat att förklara, det känns som att det kanske är något trivialt här...
Citera
2020-10-19, 13:05
  #99377
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av papperskula
Ska bestämma derivatan av ln(x) med derivatans def, inser att svaret inte är rimligt men ser inte vad jag gör för fel rent räknemässigt:

ln(x+h) - ln(x) / h = ln((x+h)/x) / h = (x+h)/x / e^h = (x+h)/x(e^h)

petar jag in h→0 här så går täljaren mot x och nämnaren mot x , x/x = 1
\begin{align*}
\lim_{h\to0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}
&
=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(x+\frac{1}{n})-\ln(x)}{\frac{1}{n}}
=\lim_{n\to\infty}n\bigl(\ln(x+\tfrac{1}{n})-\ln(x)\bigr)
\\&
=\lim_{n\to\infty}n\ln\Bigl(\frac{x+\tfrac{1}{n}}{ x}\Bigr)
=\lim_{n\to\infty}n\ln\Bigl(1+\frac{1/x}{n}\Bigr)
=\lim_{n\to\infty}\ln\Bigl(\Bigl(1+\frac{1/x}{n}\Bigr)^n\Bigr)
\\&
=\ln\Bigl(\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1/x}{n}\Bigr)^n\Bigr)
=\ln\Bigl(\lim_{k\to\infty}\Bigl(1+\frac{1/x}{k/x}\Bigr)^{k/x}\Bigr)
\\&
=\ln\Bigl(\lim_{k\to\infty}\Bigl(\bigl(1+\tfrac{1} {k}\bigr)^{k}\Bigr)^{1/x}\Bigr)
=\ln\Bigl(\Bigl(\lim_{k\to\infty}\bigl(1+\tfrac{1} {k}\bigr)^{k}\Bigr)^{1/x}\Bigr)
=\ln(e^{1/x})
\\&
=\frac{1}{x}\ln(e)
=\frac{1}{x}\cdot1
=\frac{1}{x}, \quad x\neq0.
\end{align*}
Här får man "tro" på att \(\lim f(g(x))=f(\lim g(x))\) för \(f \in C^1\)-funktioner. Ett strikt bevis för detta finns säkert i din lärobok.

Ofta brukar man först visa \(D[e^x]=e^x\) och sedan \(D_y[f^{-1}(y)]=1/D_x[f(x)]\) varpå, med \(y=e^x\), \(x=\ln(y)\), vi har att
\[
D_y[\ln(y)]
=\frac{1}{D_x[e^x]}
=\frac{1}{e^x}
=\frac{1}{y}.
\]
Här måste man dock först visa att \(D[e^x]=e^x\) m.h.a. derivatans definition och ett känt gränsvärde samt derivatan av en invers funktion. Även dessa bevis bör finnas i din lärobok.
Citera
2020-10-19, 16:22
  #99378
preben12
Medlem
preben12s avatar
Citat:
Ursprungligen postat av melyhna
Beräkna integraler tips & tricks, plsss!

Integraler som dessa http://www.bilddump.se/bilder/202010...248.57.168.png

om jag tar tex denna och skriver i min lilla kokbok ^^hehe. så förstår jag inte

1) "nothing the symmetry of the integrand with respect to x=0 we can write....:"
2) i andra steget när de har flyttat ut 1/2 utanför integralen, vad är det som gör att den kan hoppa ut?
3) och varför är den centrerad i zero? den borde u isåfall typ "starta" vid zero?
4) vad är vitsen med att veta att dominator's degree is 4 (för sedan ta 4-0 (den 0 kommer väl från steg 3?) => 2 ? vad kommer den tvåan ifrån? xD
5) hur ska man tänka när man ritar upp sånt här?

Inlägget kanske ser mkt ut, men jag tror inte det är så avancerat att förklara, det känns som att det kanske är något trivialt här...

Har inte räknat komplex analys på år och dar så går bet på 3-5 däremot för 2.) så gäller att
1/((x^2+1)(x^2+4)) är en jämn funktion. För en integral med en jämn integrand över ett symmetriskt intervall gäller att
∫{-T till T} f(x) dx = 2∫{0 till T} f(x) dx

Detta används baklänges här.
Citera
2020-10-19, 16:26
  #99379
DrMuffins
Avstängd
Citat:
Ursprungligen postat av preben12
Har inte räknat komplex analys på år och dar så går bet på 3-5 däremot för 2.) så gäller att
1/((x^2+1)(x^2+4)) är en jämn funktion. För en integral med en jämn integrand över ett symmetriskt intervall gäller att
∫{-T till T} f(x) dx = 2∫{0 till T} f(x) dx

Detta används baklänges här.

Baklänges? Ta absolutbeloppet av arean om den negativ eller kanske jag missförstår dig?
Detta gäller väl även reell analys?
Citera
2020-10-19, 16:38
  #99380
preben12
Medlem
preben12s avatar
Citat:
Ursprungligen postat av DrMuffins
Baklänges? Ta absolutbeloppet av arean om den negativ eller kanske jag missförstår dig?
Detta gäller väl även reell analys?

Svarade på varför man kunde skriva om

∫{0 till ∞}1/((x^2+1)(x^2+4)) dx som

1/2lim ρ→∞∫{-ρ till ρ}1/((x^2+1)(x^2+4)) dx.

Dvs 1/((x^2+1)(x^2+4)) är en jämn funktion som är symmetrisk kring 0. Alltså kan vi göra omskrivningen ovan.
__________________
Senast redigerad av preben12 2020-10-19 kl. 16:43.
Citera
2020-10-19, 17:09
  #99381
melyhna
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av preben12
Har inte räknat komplex analys på år och dar så går bet på 3-5 däremot för 2.) så gäller att
1/((x^2+1)(x^2+4)) är en jämn funktion. För en integral med en jämn integrand över ett symmetriskt intervall gäller att
∫{-T till T} f(x) dx = 2∫{0 till T} f(x) dx

Detta används baklänges här.

AHh men dom har ju skrivit 1/2 inte 2 ..
Citera
2020-10-19, 17:12
  #99382
DrMuffins
Avstängd
Citat:
Ursprungligen postat av papperskula
Ska bestämma derivatan av ln(x) med derivatans def, inser att svaret inte är rimligt men ser inte vad jag gör för fel rent räknemässigt:

ln(x+h) - ln(x) / h = ln((x+h)/x) / h = (x+h)/x / e^h = (x+h)/x(e^h)

petar jag in h→0 här så går täljaren mot x och nämnaren mot x , x/x = 1
kanske mathnerd skriver samma sak, har inte tex installerat på denna webläsare

men låt oss skriva om täljaren med logglagen ln(a/b)=ln(a)-ln(b)

vi har att

(1/h)(ln(x+h)-ln(x))=
(1/h)ln((x+h)/x)

ok men nu kan vi använda alog(x)=log(x)^b

så

(1/h)ln((x+h)/x)=
ln((x+h)/x)^(1/h)

ok

vi kan skriva som ln(x/(x+h))^(1/h)

Aha, detta är definitionen av kontanten e innanför ln.

men vi har ln framför, hur gör vi?

ln(x) är en kontinuerlig funktion, gränsvärdet av en kontinuerlig funktion är också en kontinuerlig funktion.

så vi kan skriva h->0 ln((x/x)+(h/x))^(1/h) som
ln(lim h->0 ((x/x)+(h/x))^(1/h) (1)

ok, vi vet att lim t->inf(1+1/t)^t=e (*)

så gör en liten substition av gränsvärdet inom ln

u=1/t
när t går mot inf går u mot 0.

så vi har då ,

lim u->0 (1+t)^(1/u)=e, det är ekvivalent med (*)

Så tillbaka till (1)

vi gör subben u=(h/x)

då betyder det ju att om h går mot noll så gör även u det efter som 0/x=0.


ln(lim h->0 (1+(h/x))^(1/h)

ln(lim u->0 (1+u)^1/ux)=ln(lim u->0 ((1+u)^(1/u))^(1/x)=ln(e)^(1/x)=(1/x)ln(e)=(1/x)*1=1/x.
Citera
2020-10-19, 17:12
  #99383
preben12
Medlem
preben12s avatar
Citat:
Ursprungligen postat av melyhna
AHh men dom har ju skrivit 1/2 inte 2 ..

Försök kolla på det jag skrivit ovan och fundera på varför det blir 1/2.
Citera
2020-10-19, 17:29
  #99384
melyhna
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av preben12
Försök kolla på det jag skrivit ovan och fundera på varför det blir 1/2.

För det är 1 genom .. ?
Citera
Svara

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback