2011-04-12, 12:18
#9721
2011-04-12, 13:07
#9725
Citat:
Ursprungligen postat av dbshw
Svårt att förklara bättre än det som redan står. Det betyder det som sägs. Är det något specifikt du undrar över?
Ok. Alltså:
Prop: Let R,S be comm rings, let t : R->S be a ring homomorphism, and let s be any element of S. Then there exists a unique ring homomorphism u_s : R[x] -> S such that u_s(r) = t(r) for all r in R, and u_s(x) = s.
Proof: We will first show uniqueness. If f : R[x]->S is any ring homomorphism with f(r)=t(r) for all r in R and f(x)=s, then for any polynomial p(x) = a_0 + ... + a_m x^m in R[x] we must have f(p(x)) = f(a_0) + ... + f(a_m x^m) = ... = t(a_0) + ... t(a_m)s^m. This shows that the only possible way to define u is the following: u(p(x)) = t(a_0) + t(a_m)s^m. (2)
Given this definition, we must show that u is a ring homomorphism. Since addition of polynomials is defined componentwise, and t preserves sums, it is easy to check that u preserves sums of polynomials. If q(x) = b_0 + ... + b_n x^n then the coefficient c_k of h(x)=p(x)q(x) is given by the formula c_k = Sum{i+j=k} a_i b_j. Applying t to both sides gives t(c_k) = ... = Sum{i+j=k} t(a_i) t(b_j) since t preserves both sums and products. This formula is precisely what we need to check that u(pq) = u(h) = u(p)u(q) (3). Since u(1) = 1, this finishes the proof that u is a ring homomorphism. (4)
Frågor:
1) Första frågan gäller fortfarande vad propositionen säger. Alltså, r är i R. u är en homomorfi från R[x], dvs mängden av alla polynom med koeff i R, till S, och u(r) = t(r). Så vadå, är r ett polynom? Det verkar tydligen ingå i R[x]. Och är R[x] en partition av R, eller varför bryr man sig alls om att "gå en omväg" via R[x] när man ska från R till S?
2) Man tänker sig alltså någon homomorfi, den behöver inte vara unik, och visar sen att den är unik. Mindre delfråga då, får man anta att någon homomorfi alls finns? Det kanske inte finns nån, liksom. Men huvudfrågan: Hur följer att ovanstående är det enda sättet att definiera u på?
3) Right, och hur visar man detta?
4) Beviset [av homomorfi] är egentligen inga problem, men förstår inte riktigt varför det ska bevisas. Man utgår ju från att f är en homomorfi, sedan säger man att denna f är den enda sådana homomorfin, nämligen u.
Citat:
Ursprungligen postat av dbshw
Dessa är de enda idealen i Z, och vi vet att ker(f) är ett ideal.
Hmm, ideal tas upp i nästa avsnitt så någon enklare förklaring finns nog t o m
(det gällde alltså att en integral domain har characteristic som är 0 eller primt).
__________________
Senast redigerad av spudwish 2011-04-12 kl. 13:10.
Senast redigerad av spudwish 2011-04-12 kl. 13:10.
2011-04-12, 13:16
#9726
__________________
Senast redigerad av Nail 2011-04-12 kl. 14:03.
Senast redigerad av Nail 2011-04-12 kl. 14:03.
2011-04-12, 13:25
#9727
2011-04-12, 14:30
#9729
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Ok. Alltså:
Prop: Let R,S be comm rings, let t : R->S be a ring homomorphism, and let s be any element of S. Then there exists a unique ring homomorphism u_s : R[x] -> S such that u_s(r) = t(r) for all r in R, and u_s(x) = s.
Proof: We will first show uniqueness. If f : R[x]->S is any ring homomorphism with f(r)=t(r) for all r in R and f(x)=s, then for any polynomial p(x) = a_0 + ... + a_m x^m in R[x] we must have f(p(x)) = f(a_0) + ... + f(a_m x^m) = ... = t(a_0) + ... t(a_m)s^m. This shows that the only possible way to define u is the following: u(p(x)) = t(a_0) + t(a_m)s^m. (2)
Given this definition, we must show that u is a ring homomorphism. Since addition of polynomials is defined componentwise, and t preserves sums, it is easy to check that u preserves sums of polynomials. If q(x) = b_0 + ... + b_n x^n then the coefficient c_k of h(x)=p(x)q(x) is given by the formula c_k = Sum{i+j=k} a_i b_j. Applying t to both sides gives t(c_k) = ... = Sum{i+j=k} t(a_i) t(b_j) since t preserves both sums and products. This formula is precisely what we need to check that u(pq) = u(h) = u(p)u(q) (3). Since u(1) = 1, this finishes the proof that u is a ring homomorphism. (4)
Frågor:
1) Första frågan gäller fortfarande vad propositionen säger. Alltså, r är i R. u är en homomorfi från R[x], dvs mängden av alla polynom med koeff i R, till S, och u(r) = t(r). Så vadå, är r ett polynom? Det verkar tydligen ingå i R[x]. Och är R[x] en partition av R, eller varför bryr man sig alls om att "gå en omväg" via R[x] när man ska från R till S?
Prop: Let R,S be comm rings, let t : R->S be a ring homomorphism, and let s be any element of S. Then there exists a unique ring homomorphism u_s : R[x] -> S such that u_s(r) = t(r) for all r in R, and u_s(x) = s.
Proof: We will first show uniqueness. If f : R[x]->S is any ring homomorphism with f(r)=t(r) for all r in R and f(x)=s, then for any polynomial p(x) = a_0 + ... + a_m x^m in R[x] we must have f(p(x)) = f(a_0) + ... + f(a_m x^m) = ... = t(a_0) + ... t(a_m)s^m. This shows that the only possible way to define u is the following: u(p(x)) = t(a_0) + t(a_m)s^m. (2)
Given this definition, we must show that u is a ring homomorphism. Since addition of polynomials is defined componentwise, and t preserves sums, it is easy to check that u preserves sums of polynomials. If q(x) = b_0 + ... + b_n x^n then the coefficient c_k of h(x)=p(x)q(x) is given by the formula c_k = Sum{i+j=k} a_i b_j. Applying t to both sides gives t(c_k) = ... = Sum{i+j=k} t(a_i) t(b_j) since t preserves both sums and products. This formula is precisely what we need to check that u(pq) = u(h) = u(p)u(q) (3). Since u(1) = 1, this finishes the proof that u is a ring homomorphism. (4)
Frågor:
1) Första frågan gäller fortfarande vad propositionen säger. Alltså, r är i R. u är en homomorfi från R[x], dvs mängden av alla polynom med koeff i R, till S, och u(r) = t(r). Så vadå, är r ett polynom? Det verkar tydligen ingå i R[x]. Och är R[x] en partition av R, eller varför bryr man sig alls om att "gå en omväg" via R[x] när man ska från R till S?
Aha. Nej, det finns en naturligt sätt att se R som en delring till R[X], nämligen som delringen av alla konstanta polynom. Det är det dom menar, så om r är i R så ser vi också r som ett element i R[X], nämligen elementet r + 0X + 0X² + .... Så r är en ett element i R, men också ett polynom.
Så du har en homomorfi från delringen av R[X] bestående av alla konstanta polynom till S. Sedan vill du utvidga den till en homomorfi från hela R[X] till S. Låt säga att jag dessutom kräver av dig att du måste skicka elementet X (alltså polynomet X) till ett visst element s. Då säger satsen att du kan hitta en exakt en sådan utvidgning.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
2) Man tänker sig alltså någon homomorfi, den behöver inte vara unik, och visar sen att den är unik. Mindre delfråga då, får man anta att någon homomorfi alls finns? Det kanske inte finns nån, liksom. Men huvudfrågan: Hur följer att ovanstående är det enda sättet att definiera u på?
Du har rätt att det kanske inte finns nån. Den här delen visar bara om det finns nån, så är den unik. Det är ganska vanligt i sådana här bevis att unikhet är lättare att bevisa än existens, och att idéer från unikhetsbeviset ofta kan hjälpa till att bevisa existens, så det är därför man bevisar unikhet först.
Vi har alltså visat att om f är en homomorfi R[X] -> S med
a) f(r) = t(r) och
b) f(X) = s
så måste f(p(x)) = t(a_0) + ... + t(a_m)s^m.
Eftersom vi kräver att det u vi ska hitta uppfyller villkoren a) och b), så måste det, om det existerar, också uppfylla
u(p(x)) = t(a_0) + ... + t(a_m)s^m.
Så om vi ska bevisa existens av u, så vet vi att om vi överhuvudtaget ska ha en chans så måste u(p(x)) = t(a_0) + ... + t(a_m)s^m. Så vi kan lika gärna ta det som definition av u, och sen kolla att det fungerar.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
3) Right, och hur visar man detta?
Vilket av påståendena där menar du?
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
4) Beviset [av homomorfi] är egentligen inga problem, men förstår inte riktigt varför det ska bevisas. Man utgår ju från att f är en homomorfi, sedan säger man att denna f är den enda sådana homomorfin, nämligen u.
Njä. Du säger ju själv att vi inte vet att ett sådant f existerar. Vi visar att om u existerar så måste
u(p(x)) = t(a_0) + ... + t(a_m)s^m. (*)
Väglett av detta så tar vi oss an existensbeviset, och väljer att definiera u genom (*).
Det skulle dock kunna vara så att den här formeln (*) står i strid med att u är en homomorfi. (Då skulle vi alltså genom motsägelsebevis bevisat att ett u med egenskaperna som krävs inte existerar.) Alltså måste vi kontrollera att u definierat genom (*) faktiskt är en homomorfi, för att kunna visa att u faktiskt existerar.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Hmm, ideal tas upp i nästa avsnitt så någon enklare förklaring finns nog t o m (det gällde alltså att en integral domain har characteristic som är 0 eller primt).
(det gällde alltså att en integral domain har characteristic som är 0 eller primt).Enklare är kanske att se att ker(f) definitivt är en additiv delgrupp till Z, och de enda delgrupperna är 0 och nZ. (Beviset för det är samma jox med divisionsalgoritmen som de saker du postade för ett tag sen, kanske ni redan bevisat nånstans att just de enda delgrupperna till den additiva gruppen Z är 0 och nZ?)
Stöd Flashback
Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!
Swish: 123 536 99 96 Bankgiro: 211-4106
