*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Generatrisen (Eng. Generatrix) är troligen inget centralt begrepp i dagens skolgeometri, inte ens Sv. W.P. gör en anmärkning om den och Eng. WP nämner den kort.

Generatrisen kan du tänka på som "tråden" om du hänger en tyngd i en tråd och börjar snurra tyngden i en cirkulär rörelse. Tråden "ritar" upp en yta (den sk. mantelytan) i rummet (luften). Du ser en rel. bra bild här. Glöm den sneda konen (till höger), den är ej aktuell och mycket svårare. Den tunna gula linjen i den vänstra figuren är generatrisen och vi kallar den \(s\).

Notera direkt att från Pythagoras sats har du
\[
s^2=r^2+h^2
\quad\Leftrightarrow\quad
r^2=s^2-h^2.
\]
Vinkeln är klumpigt ritad i figuren, den skall naturligtvis vara vinkelrät.

Volymen av en rak cirkulär kon ges av
\[
V=\frac{1}{3}\pi r^2h.
\]
Ersätt \(r^2\) med uttrycket ovan och du har
\[
V(h)
=\frac{1}{3}\pi (s^2-h^2)h
=\frac{1}{3}\pi (s^2h-h^3), \quad 0<h<s,
\]
där \(s\) är en konstant (i ditt fall 9 cm, men vi räknar allmänt). Notera begränsningen på \(h\)! Varför kan ej \(h\ge s\)?

Ett ev. största värde på \(V(h)\) sker då \(V'(h_0)=0\).

Då
\[
V'(h_0)=0
\quad\Leftrightarrow\quad
\frac{1}{3}\pi (s^2-3h_0^2)=0
\quad\Leftrightarrow\quad
s^2-3h_0^2=0
\quad\Leftrightarrow\quad
h_0=\frac{s}{\sqrt{3}}
\]
(lösningen \(h=-\frac{s}{\sqrt{3}}\) är ej intressant då \(h>0\)) och
\[
V''(h)=\frac{1}{3}\pi (0-6h)<0
\]
för alla \(h\) i intervallet \((0,s)\) är \(h=h_0=\frac{s}{\sqrt{3}}\) en lokal maximipunkt. Notera att \(h_0\) ligger i intervallet \((0,s)\). Gör gärna även en teckenstudie/-tabell.

För \(h=h_0=\frac{s}{\sqrt{3}}\) fås den maximala volymen
\begin{align*}
V_\text{max}
&=V(h_0)
=\frac{1}{3}\pi (s^2h_0-h_0^3)
=\frac{1}{3}\pi \Bigl(s^2\cdot\frac{s}{\sqrt{3}}-\Bigl(\frac{s}{\sqrt{3}}\Bigr)^3\Bigr)
=\frac{1}{3}\pi \Bigl(\frac{s^3}{\sqrt{3}}-\frac{s^3}{3\sqrt{3}}\Bigr)
\\&=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{s^3}{ \sqrt{3}}
=\frac{2\pi s^3}{9\sqrt{3}}
=\frac{2\sqrt{3}\pi s^3}{27}.
\end{align*}

I ditt fall, \(s=9\) cm, ges den största volymen, mätt i cm^3, av
\[
V_\text{max}
=\frac{2\sqrt{3}\pi s^3}{27}
=\frac{2\sqrt{3}\pi\cdot9^3}{27}
=54\sqrt{3}\pi.
\]

Integraler. Googla är kanske det bästa. Men i princip om du skall beräkna en integral av en funktion f(x) mellan nedre gränsen a och övre gränsen b så gäller det att svaret är F(b) -F(a).

Om det finns en analytisk lösning så finns det någon sorts mystisk funktion F(x) där man bara behöver sätta in övre gränsen b i funktionen och sedan subtrahera med samma mystiska funktion med undre gränsen a insatt istället.

Nu är det som tur så att F(x) går att trolla fram med hjälp av f(x). I ditt första fall är f(x) = 2x +1.
f(x) är alltså alltid funktionen som står mellan det som ser ut som ett stort s och dx.

Tricket är att derivatan av F(x) är f(x). För bevis se bok eller sök online. så d/dx(F(x)) = 2x +1.
Nu gäller det att tänka baklänges. Du vet att derivatan av funktionen skall innehålla en term med x och en konstant.

Vad för sorts funktion har en derivata med någon sorts x term? Jo en funktion som innehåller x*x. På samma sätt ger derivatan av en funktion som innehåller en x term en konstant.

Alltså är det rimligt att ansätta F(x) = A*x*x +B*x. Derivera detta:
d/dx(F(x)) = 2*A*x+B

Nu kan du bara jämföra f(x) och ovanstående: 2Ax +B = 2x +1
Identifiera A och B. Sätt sedan in gränserna i den nu färdiga F(x) funktionen.

Tack För ett jättebra svar tror jag fattat tänket nu

Behöver också jättegärna hjälp med denna uppgiften.

För funktionen f (x) = a√x gäller f '' (4) = 2. Bestäm konstanten a?

Vi har att
\[
f(x)=a\sqrt{x}=ax^{1/2}
\]
vilket ger
\begin{align*}
f'(x)&=a\cdot\frac{1}{2}x^{1/2-1}=\frac{a}{2}x^{-1/2},\\
f''(x)&=\frac{a}{2}\Bigl(-\frac{1}{2}\Bigr)x^{-1/2-1}
=-\frac{a}{4}x^{-3/2}.
\end{align*}

Vi får
\[
f''(4)=2
\quad\Leftrightarrow\quad
-\frac{a}{4}\cdot4^{-3/2}=2
\]
vilket ger
\[
a
=-4\cdot2\cdot4^{3/2}
=-8\cdot(2^2)^{3/2}
=-8\cdot2^3
=-8\cdot8
=-64.
\]

Har svårt att se om jag ska göra ett teckenbyte eller inte i nämnare på den andra termen när jag tar bort parantesen:

1/x-(x/(1+x^2)) , någon som kan förklara varför eller varför inte man ska ändra ?

Du har alltså(?):
Finns det någon anledning att byta tecken där?

Plocka bort den överflödiga parentesen:
1/x - (x/(1+x^2)) = 1/x - x/(1+x^2).

Tack för hjälpen (:

Tror jag fastnar lite på b-d eftersom vi har 2a där,

jag tänkte att "formeln" skulle ställas uppp på något :

mod x * k + värdet på a

där du hade då i E Upp:
mod x = 45
värdet på a = 30 så

så då in i formeln:

45k+30

Med så far?

Så då blir det:

45k+30

..

Skulle jag använda den formeln skulle jag få:

2a = 20k+5 <=> a =10k+5/2 och därför stämmer inte det?

bump =(

((2X^3)+(6X^2))/(9((X+2)^2)) = 0

Varför blir det galet om man multiplicerar bägge led med täljaren och sedan bryter ut ett X från resultatet och kör nollproduktsmetoden och pq ? (med def-mängd X≠-2)

Att köra polynomdivision på denna känns svårt

test snögubbe (nej fungerade ej)