Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Några mestadels enkla frågor.
1. Let R be a comm. ring. Then the set R^x of units [invertible elements] of R is an abelian group under the multiplication of R.
Det räcker att visa att alla element har invers. Men är inte detta självklart? Man väljer ju uttryckligen alla nollskilda element av R, och dessa har invers. QED...?
Ja, precis. QED.
Citat:
2. Prop 1. a) The inverse of a group iso is a group iso. b) The composite of two group isos is a group iso.
Prop 2. a) The inverse of a ring iso is a ring iso. b) The composite of two ring isos is a ring iso.
Proof: a) Let f:R->S be an iso of comm rings. We have shown in Prop 1 that f^-1 is an iso of the underlying additive groups... b) If f:R->S, g:S->T are isos of comm rings, then gf(ab) = ... = gf(a)*gf(b). Furthermore, gf(1) = ... = 1. The remainder of the proof follows immediately from the corresponding result for group isos.
Frågor: a) Man visar sedan bijektivitet för multiplikation samt att f^-1(1)=1. Menar kommentaren som jag återgav att eftersom en ring är en abelsk grupp under addition så är resultat för den additiva operationen redan visad? Det verkar iaf rimligt att det skulle vara så.
Ja. Mer specifikt så menar dom alltså att det redan är visat att f^-1 är en homomorfi av den additiva strukturen, så f^-1(x + y) = f^-1(x) + f^-1(y).
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
b) Vilken "remainder" då, det där är väl allt som behövs?
Njao. För att visa att gf är en isomorfi av ringar behöver vi visa:
1) gf(ab) = gf(a)gf(b)
2) gf(1) = gf(1)
3) gf(a+b) = gf(a) + gf(b)
4) gf(0) = 0
5) gf är en bijektion.
Dom har visat 1) och 2), men 3), 4) och 5) är kvar. Däremot så säger 3), 4), 5) tillsammans precis att gf är en grupp-isomorfi, och det vet vi redan av Prop 1 b). Det är detta dom menar.
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
3. Let R,S be comm rings, f:R->S a ring homomorphism, and s any element in S. Then there exists a unique ring homomorphism g_s : R[x] -> S s.t g_s(r) = f(r) for all r in R, and g_s(x)=s.
Vad betyder detta ens? Fullständigt lost på denna.
Svårt att förklara bättre än det som redan står. Det betyder det som sägs. Är det något specifikt du undrar över?
Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
4. An integral domain has characteristic 0 or p, for some prime number p.
Proof: Let D be an integral domain, and consider the mapping f:Z->D defined by f(n) = n*1. Note that f is a ring homomorphism... The fundamental homomorphism theorem for rings shows that Z/ker(f) is isomorphic to the subring f(Z) of D. Since f(Z) inherits the property that D has no nontrivial divisors of zero, this shows that Z/ker(f) must be an integral domain. Thus either ker(f)=0, in which case char(D)=0, or ker(f) = nZ for some positive number n. Then Z/ker(f) ~= Z_n, and Cor 1 implies that n is prime, so in this case char(D) is a prime number.
Fråga: För det första, väldigt fint resultat. För det andra, Cor 1 säger att följande villkor på "the modulus n>0" är ekviv, a) n är primt, b) Z_n har inga delare av 0, utom [0]_n, c) alla nollskilda element av Z_n har en multiplikativ invers.
Nå, jag är inte bästa vän med sagda fundamentalsats, men om jag för stunden accepterar den hänger jag med t o m att Z/ker(f) måste vara en integral domain. Därefter är jag lost. Därefter följer att ker(f)=0 eller nZ. Varför?
Dessa är de enda idealen i Z, och vi vet att ker(f) är ett ideal.
