Citat:
Ursprungligen postat av
sveber1
Hur löser man lämpligast ekvationen cot z = 1+i för komplexa z? Jag försökte (se länkad bild) utgående från definitionen arbeta mig fram till att cot z = u(x,y) + i·v(x,y) vilket också lyckades, men att lösa det ekvationssystem som uppstod ger egentligen bara x som funktion av y.
Mitt försök:
https://i.imgur.com/rybCk8i.jpg
Vi har att (använd Eulers formler och sätt \(u=e^{iz}\));
\[
1+i
=\cot(z)
=\frac{\cos(z)}{\sin(z)}
=\frac{\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})}{\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})}
=\frac{(u+1/u)}{\frac{1}{i}(u-1/u)}
=\frac{u^2+1}{\frac{1}{i}(u^2-1)}
\]
vilket ger
\[
\frac{u^2+1}{u^2-1}
=\frac{1+i}{i}=1-i.
\]
Sätt \(A=1-i\);
\[
\frac{u^2+1}{u^2-1}=A
\quad\Leftrightarrow\quad
u^2+1=Au^2-A
\]
vilket ger
\[
u^2
=\frac{A+1}{A-1}
=\frac{1-i+1}{1-i-1}
=\frac{2-i}{-i}
=1+2i
=\sqrt{5}e^{i(\varphi+2\pi n)}
\]
där \(\varphi=\arctan(2)\) och \(n\in\mathbb{Z}\).
Då \(u=e^{iz}\) har vi att
\[
e^{i2z}=\sqrt{5}e^{i(\varphi+2\pi n)}
\quad\Leftrightarrow\quad
i\,2z=\ln(\sqrt{5}\,)+i(\varphi+2\pi n)
\]
vilket ger
\begin{align*}
z
&
=\tfrac{1}{2i}\ln(\sqrt{5}\,)+\tfrac{1}{2i}i( \varphi+2\pi n)
=-\tfrac{1}{2}\ln(\sqrt{5}\,)i+\tfrac{1}{2}( \varphi+2\pi n)
\\&
=\tfrac{1}{2}\arctan(2)+\pi n-\tfrac{1}{4}\ln(5)i,\quad n\in\mathbb{Z}.
\end{align*}
