*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

1. Använd att cos2x = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 vilket ger:

1 + cosx + cos2x = 0 ⇔ 1 + cosx + 2cos²x - 1 = 0 ⇔ cos²x + cosx/2 = 0 ⇔ cosx(cosx + 1/2) = 0

2. 1 + lnx + ln2x = 0 ⇔ e^(1 + lnx + ln2x) = e⁰ = 1 ⇔ e¹·e^ln(x)·e^(ln2x) = 1 ⇒ e·x·2x = 1 ⇔ 2ex² = 1 ⇔ x² = 1/(2e) ⇔ x = ± 1/√(2e)

Dock blir endast x = 1/√(2e) en lösning, varför? Vilket steg gjorde så att den falska roten x = -1/√(2e) uppkom?

3. f(x) = ln(1 + 4x²) - 2arctan2x

Ansätt y = kx + m och sök först y = f(-1/2) vilket ger punkten (x, y) där tangenten passerar igenom. Sök sedan k vilken ges av f'(-1/2) och sedan söker du m och du har din tangent.

4. Det känns som det saknas information, vad är "resten av burken", är materialet tre gånger så dyrt för lock och botten relativt materialet till mantelytan eller?

1)

1+cos(x)+cos(2x)=0
cos(2x)=2cos^(x)-1
1+cos(x)+2cos^2(x)-1=0
cos(x)+2cos^2(x)=0

För enkelhetens skull:

cos(x)=t

t+2t^2=0
t(1+2t)=0
t=0, t=-0.5

cos(x)=0
cos(x)=-0.5

u + v = (1,2,-1) + (3,1,1) = (4,3,0).

ON-bas så
|u + v| = √(4² + 3² + 0²) = 5.

1.

1+cos(x)+cos(2x)=0

1+cos(x)+cos^2(x)-sin^2(x)=0

sin^2(x)+cos^2(x)+cos(x)+cos^2(x)-sin^2(x)=0

cos(x)+2cos^2(x)=0

cos(x)(1+2cos(x))=0 <-- antingen är cos(x)=0 och då blir hela uttrycket lika med noll eller så är 1+2cos(x)=0 och då blir också hela uttrycket noll.

cos(x)=0

x=±arccos(0)+2pi*n=±pi/2+2pi*n


1+2cos(x)=0 --> cos(x)=-1/2

x=±arccos(-1/2)+2pi*n=±2pi/3+2pi*n


2.

1+ln(x)+ln(2x)=0

ln(e)+ln(x)+ln(2)+ln(x)=0

2ln(x)+ln(e)+ln(2)=0

ln(x^2)+ln(2e)=0

x^2=e^-ln(2e)=1/(2e)

x=sqrt(1/(2e))=1/sqrt(2e)


3.

f(x)=ln(1+4x^2)-2arctan(2x)

f'(x)=8x*1/(1+4x^2)-4/(1+4x^2)=(8x-4)/(1+4x^2)

f'(-1/2)=(8*-1/2-4)/(1+4*(-1/2)^2)=-4

f(-1/2)=ln(1+4*(-1/2)^2)-2arctan(2*-1/2)=ln(2)+pi/2

Tangenten är på formen y=kx+m där vi vet att k=-4 och att x=-1/2 och y=ln(2)+pi/2 -->

ln(2)+pi/2=-4*-1/2+m --> m=-2+pi/2+log(2)

Tangentens ekvation blir således:

y=-4x-2+pi/2+log(2)

4.
Förstår inte riktigt, är materialet för botten och locket tre gånger så dyrt som till resten av burken eller är det bara botten som är tre gånger så dyr?

Lite enklare än det andra sättet.

Hej! Tack för snabba svar! Mitt misstag, det skulle stå "Materialet till locket är tre gångers så dyrt som materialet till resten av burken".

Haha, aningen lättare

Hur kan man visa att en rätvinklig triangels area med känd omkrets är störst då kateterna är lika långa som höjden med en matematisk formel utan att rita upp exempel?

https://www.flashback.org/t1074160

Okej, hade tråkigt:

Säg att triangeln har kateter av längd a och b. Då är dubbla arean

A = ab

och omkretsen är

P = a + b + sqrt(a² + b²).

Vi vill maximera A givet P. (Att maximera dubbla arean är förstås ekvivalent med att maximera arean.)

Lösning 1:

Använd Lagrangmultiplikatorer. Vi vill maximera

ab - λ(a + b + sqrt(a² + b²) - P)

Deriverar man får man bland annat ekvationerna

b - λ(1 + a/sqrt(a² + b²)) = 0
a - λ(1 + b/sqrt(a² + b²)) = 0

Detta medför att

(1 + a/sqrt(a² + b²))/b = 1/λ = 1 + b/sqrt(a² + b²)

dvs

(1/b - 1/a) = (a/b - b/a) 1/sqrt(a² + b²)

och om vi mlutiplicerar med ab på båda sidor

(a - b) = (a² - b²) 1/sqrt(a² + b²)

En lösning är att a = b. Om a ≠ b så kan vi dividera med a - b, och får

1 = (a + b)/sqrt(a² + b²)

och då att

(a + b)² = a² + b²

vilket medför att ab = 0, och därmed att a = 0 eller b = 0. Sen får man väl argumentera på något sätt att a = 0 eller b = 0 ger minimum, och a = b ger maximum. Hursomhelst så får vi att arean maximeras när a = b.

Lösning 2:
Det är lättare att minimera P, givet A. Detta är ett ekvivalent problem, i bemärkelsen att om en viss triangel minimerar P givet A, så maximerar den A givet P. (Det krävs lite tankeverksamhet för att förstå varför den här sista meningen är sann.) Hursomhelst, när man har insett det är inte svårt:

A är alltså fixt, och vi vill maximera P. Då är b = A/a, så

P = a + A/a + sqrt(a² + A²/a²).

Sen kan man derivera för att minimera på vanligt manér. Sen blir det massa jobbig algebra, men jag får i vilket fall till slut

a^4 - 2Aa² + A² = 0

vilket har lösningen a² = A. Då måste b = A/a = a, och maximum ges allså av a = b.

Lösning 3:
Man kan se att det är ekvivalent att minimera P/sqrt(A), utan bivillkor. (Återigen kräver denna omskrivning lite tankeverksamhet för att förstås.) Men

P/sqrt(A) = sqrt(a/b) + sqrt(b/a) + sqrt(a/b + b/a)

och det är alltså detta som ska minimeras. Vi kan införa en ny variabel x = a/b. Det som ska minimeras blir då

sqrt(x) + sqrt(1/x) + sqrt(x + 1/x).

Vi deriverar och sätter till 0, och får efter lite trixande

1 - 1/x = (1 - 1/x²)/sqrt(1 + 1/x²)

Nu kan vi se direkt att x = 1 är en lösning. Om inte, så kan vi dividera med 1 - 1/x, och får att

1 + 1/x = sqrt(1 + 1/x²)

vilket man kan se saknar lösningar (annat än x = 0 och x = ∞, i viss mening) på samma sätt som i lösning 1. Så x = 1 ger minimum, och detta svarar mot att A/P² maximeras när a = b.

Lösning 4:
Vi vet att a + b ≥ 2sqrt(ab), med likhet omm a = b. (Bevis: a + b - 2sqrt(ab) = (sqrt(a) - sqrt(b))² ≥ 0, med likhet omm sqrt(a) - sqrt(b) = 0, dvs a = b.)

Vi vet också att a² + b² ≥ 2ab med likhet omm a = b. (Bevis: a² + b² - 2ab = (a - b)² ≥ 0 med likhet omm a - b = 0, dvs a = b.) Då följer att sqrt(a² + b²) ≥ sqrt(2ab), med likhet omm a = b.

Sätter man ihop detta fås att

P = a + b + sqrt(a² + b²)
≥ (2 + sqrt(2))sqrt(ab)
= (2 + sqrt(2))sqrt(A)

med likhet omm a = b. Då är alltså

A ≤ P²/(2+sqrt(2))².

med likhet omm a = b. För P fixt betyder detta att A som högst kan anta värdet P²/(2+sqrt(2))², och att detta värde antas endast om a = b. Detta betyder precis att A maximeras när a = b (och vi får också att maximum är P²/(2+sqrt(2))².

genom att sätta upp ett uttryck för arean, ett uttryck för omkretsen, baka ihop dem på lämpligt sätt (uttryck arean beroende av x, mha att du har en bestämd omkrets). derivera sedan detta uttryck och undersök vart derivatan är 0, detta är en maxpunkt och det kommer att visa sig att det är just då kateterna är lika långa.


edit......eller så kan du förfara enligt anvisningarna ovan.

Vad betyder P~V? tecknet mellan