*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Får känslan att du är ute efter ett epsilon-delta bevis, tror det är så man brukar gå till väga formellt. Tycker den typen av problem är svåra men har ändå ett förslag på hur du kanske kan börja tänka?

Man brukar väl köra något i stil med att det för varje epsilon sådant att ( L är gränsen ):
lim(n-->oändligheten) | F(n) - L| < epsilon

så skall det finnas delta så att | n-n:gränsvärde| < delta

Redan här finns ett problem då n:gränsvärdet är oändligheten. Jag TROR att du kan försöka ersätta detta villkor med att det finns n > N, dvs finns något n så stort att | F(n) - L| < epsilon

Här finns en poäng iaf. Det spelar ingen roll om y är negativt för | F(n) - 0| < epsilon pga absoluttecknet.

Sätter in funktionen och fick (ln( |y|)/epsilon) < (n-1)! Så om man väljer n större än något N som uppfyller denna ekvation så borde man vara hemma? Och n kan väljas hur stort som helst.
Gränsen är något N som uppfyller likhet eller större än om serien är avtagande till beloppet.
Är | y^(n+1) /(n+1)! | < | y^n/(n!)| ? för mig är detta ekvivalent med: y/(n+1) < 1 och då funkar det med n+1 större än y osv.

Internet säger att en altenerande serie konvergerar om n-te termen går mot noll och serien är avtagande( beloppen på termerna avtar). Detta ser ut att stämma här så funkar om y är negativt. Så serien är konvergent(vilket inte var frågan iofs)

Ja sorry om detta blev inexakt och väldigt "ungefärligt", men om det handlar om epsilon-delta så kanske någon del som är till hjälp?

Tack för rättningen.
Ja, det ser ju elegant ut, men det står väl inte riktigt på egna ben, eller?


Kollade upp epsilon-delta bevis och det är väl lite så jag tänkte först tror jag. Men jag förstår inte hur jag ska göra när det är n-fakultet, det gör mig förvirrad.

Min tankegång är kanske dåligt förklarad, eller så förstår jag inte bevismetoden du hänvisar till.

Jag tänker alltså att n blir lika stor som y någon gång, så att det blir (y^y)/y!, vilket kan vara ett väldigt stort tal om y är stort.

Men, då n=y+1 faktoriserar jag, så att det blir:
((y^y)/y!)(y/(y+1))
Första faktorn kan ju ses som en konstant, så det gäller bara att visa att den andra faktorn går mot 0.
Då n=y+2 blir den:
y^2/(y^2+3y+2).
För n=y+3 blir den:
y^3/(y^3+6y^2+11y+6), o.s.v.
Det är ju uppenbart att det kommer att gå mot noll, eller?

Om en summa har ett ändligt värde, vilket \(e^y=\sum_{k=0}^\infty y^k/k!\) har för alla \(y\in\mathbb{R}\), måste dess termer \(y^k/k!\to0\) då \(k\to\infty\). Omvändningen är dock ej sann.

Kanske denna sida kan hjälpa dig.

Ja, det verkar som att de reder ut de tankar jag har där. Tack för hjälpen!

Ok i princip förstår jag epsion delta grejen som att du vill visa att | F(n) - L| < epsilon
gäller för ett tillräckligt stort n och högre n

Genom att helt enklet sätta in och manipulera litet så fick jag att varje epsilon måste uppfylla:
(ln( |y|)/(n-1)!) < epsilon
Där tycker jag att man ser två poänger. Tecknet på y spelar inte roll. För varje epsilon du någonsin kan hitta på(tex ett väldigt väldigt litet) så finns ett n (och alla n högre än det) som gör att olikheten funkar. Alltså funkar gränsvärdet.

Dock behöver du kolla med lärare att det är okej att använda n > N osv istället för den vanliga metodiken för ändliga tal.

Om du inte behöver resonera i termer av epsilon delta så kan du strunta i det jag skrivit. Din egen metod tittade jag inte så mycket på, men på sätt och viss inkluderade jag det när jag resonerade om termen n+1 relativt n.

Att visa att n+1 termen för tillräckligt stort n( och de n som är ännu större) är avtagande kan vara trevligt att veta om du vill övertyga dig själv om konvegens för en serie om du tex har ett negativt y.

Då har du ju skiftande tecken på termerna ( + - + - +....). Du har redan visat att n:te termen går mot noll. Alltså vet du att serien konvergerar(även med alternerande tecken). Detta är mer en snuttefilt iofs, men den frågan dök upp i alla fall upp i mitt huvud.

Edit: Kanske skulle skriva att n > N inte är taget ur luften, jag har sett exempel på liknande resonemang när det gällt att bevisa att en term går mot oändligheten istället, så jag tror det är ok inom den formella epsilon-delta metodiken.

Tack för att du tar dig tid att förklara, även om jag inte riktigt är med på allt. Men du har pekat i en riktning iaf, så jag ska nog få rätsida på det till slut.

Har dessvärre ingen lärare att fråga, jag stötte på problemet av en slump och har funderat på det för nöjes skull bara.

En annan känd lösningsmetod för problemet är att använda att termerna mer än halveras för varje steg, för tillräckligt stora n. Alltså att definiera a(n)=y^n/n! och använda att

a(n+1)=y^(n+1)/(n+1)!=a(n)*y/(n+1)< a(n)/2 om n>2y

Okej, litet dumt av mig att inte köra wikipedia från början här finns en bättre förklaring:

https://sv.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A4nsv%C3%A4rde

Min förklaring var inte ok då jag gjort en miss när jag satte in funktionen. Det jag tror man kan göra är att sätta in : | F(n) - L| < epsilon --->| y^n/(n!) | < epsilon
Här ser man direkt att för |y|< 1 så går vänstersidan mot noll när n går mot oändligheten, men om |y| >1?Absolutteckent gör att man kan betrakta pos y enbart alla andra värden är positiva --->
y^n/(n!) < epsilon
För tillräckligt stora n så gäller då n*ln(y) = ln ( epsilon *(n!)) = ln (epsilon) +ln(n!) = ln(epsilon) + ln(n) +ln(n-1) +ln(n-2)...ln(1)

Man har här n-1 termer som är större än 0 samt ln(e). Dividerar man båda sidor med n så har man
ln(y) < ln(epsilon)/n + ((n-1)/n) * en konstant som kommer växa då n växer då medelvärdet hela tiden förskjuts mot ett högre värde.

För riktigt höga n så är (n-1)/n ungefär 1. ln(e)/n går också mot noll. Kvar blir en konstant som kan väljas valfritt högt genom att öka n. Så olikheten gäller för alla y när n går mot oändligheten.

Edit: tankefel

Edit 2: Jag kikade litet på di metod, kan mycket väl stämma men jag saknade litet när det gällde tecken på y och om y mindre än 1. Det kan ändå mycket väl stämma, men kanske kan det fyllas på litet?

Jag tror jag fattar faktiskt. Om jag stuvar om lite i det jag skrev förut kan jag ju se att den minskar med 1/((2^(n-2y)+r) där r är en liten extrasumma. Så då har jag tänkt rätt iaf. Gäller att uttrycka det bra bara. Tack för hjälpen!

Haha, jag hade inte en tanke på att y skulle kunna vara något annat än ett positivt heltal. Är inte helt med på det du skriver, men jag ska läsa lite noggrant nu ikväll så lossnar det kanske.

Uppskattar verkligen att du tar dig tid!

Okej, känns som jag feltolkat litet ser också att jag skrivit rätt slarvigt och snabbt. Exempelvis skall e = epsilon på ett antal ställen, litet slappt när det gäller hur jag skriver om gränsvärden osv...

"Konstanten" som bildas när man tar summan av de n-1 termerna har ln(n) som högsta term, så den lär ju bero på något i stil med ln(n)/konstant, typ.

Hej gott folk. Jag läser en kurs i diskret matematik, och försöker lösa en uppgift gällande injektiva funktioner. Jag har okej koll på injektiva funktioner men jag förstår inte följande uttryck:

Visa att f : R -> Vf inte är injektiv.
(här skrivs Vf med f som ett subscript)

Vad betyder Vf i sammanhanget? Den används också i en uppgift "Bestäm värdemängden Vf till f".

Så, kan någon leda mig i rätt riktning så jag kan lösa uppgifterna?