*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hej

Har en uppgift i funktionsteori. Standardmetoderna är att antingen jämföra med en serie som går att beräkna (t.ex. en geometrisk serie) eller räkna ut integralen. Men dessa metoder verkar inte fungera i detta fall.

https://imgur.com/a/5zJiA

Givet den komplexa ekvationen: 2*z + i*z(konjugat) = 6 Lös ekvationen med avseende på z.

Jag har stegen framför mig men förstår inte riktigt. Skulle någon kunna förklara varje steg övertydligt? Tack på förhand.

2*z + i*z(konjugat) = 6

Ansätt z=a+ib och sätt in det i ekvationen. Då får vi:

2*(a + ib) + i*(a + ib)(konjugat) = 6

Utveckla parentesen och använd definitionen av konjugat (byt tecken på imaginärdelen):

2a + 2ib + i*(a-ib) = 6

Utveckla nu den kvarvarande parentesen, använd att i*i=-1 och subtrahera -6 på båda sidorna:

2a + 2ib + ia - (i*i)*b = 6
2a + 2ib + ia + b = 6
2a + 2ib + ia +b - 6 = 0

Samla nu realdel och imaginärdelar:

2a+b-6 + i(2b+a) = 0

Om denna ekvation ska vara sann måste både imaginärdel och realdel vara 0, d.v.s. vi har ekvationerna

2a+b-6=0 och 2b+a=0

Från den högra löser vi ut att a=-2b. Detta sätter vi in i den vänstra ekvationen och får

2*(-2b)+b-6=0
d.v.s.
-3b-6=0
Så b = -2
och a=-2b=4

Kom nu ihåg att vi satte z=a+ib, så z=4-2i

Den givna ekvationen och dess komplexkonjugat ger
2z + iz¯ = 6 ... (1)
2z¯ - iz = 6 ... (2)

Multiplicera ekv (1) med 2i:
4i z - 2z¯ = 12i ... (3)

Addera (3) och (2):
3iz = 12i + 6

Multiplikation med -i/3 ger slutligen
z = 4 - 2i

Felet du gör är att du sätter in ett funktionsuttryck för att beräkna en skattning av förstaderivatan. Du har ju givet i uppgiften att y'(0) = 0, och då är det alltså det du ska använda i det första steget. Då får du y₁ = y₀ + h*0 = y₀ = 1.

Från och med andra steget så ska du använda approximationen för v (dvs y'), och då måste du först skatta nästa v med hjälp av din ekvation för v'. Det är i ekvationen för v' (dvs y'') som du ska använda u - x*v som skattning av derivatan, inte i ekvationen för u (dvs y).

Någon som kan förklara varför √4²-2² ≠ 4-2

Jag antar att rottecknet ska omfatta hela vänsterledet, dvs att det ska vara roten ur differensen 4² - 2².

Rent generellt är √(a - b) inte lika med √(a) - √(b), och det är inget specialfall om a och/eller b råkar vara ett heltal i kvadrat. Vill man försöka förstå det intuitivt så kan det vara vettigt att titta på en graf för funktionen f(x) = √(x).

Som du kan se är det en kurva och inte en rät linje. Lutningen på kurvan (dess förstaderivata) är därför olika för olika x. Att öka eller minska värdet på x kommer därför att leda till olika stora förändringar av funktionsvärdet beroende på vilket värde på x man utgick ifrån.

Beräknar man √(a) - √(b) för ett och samma värde på a men olika värden på b så kommer differensen alltid att ändras med samma belopp som √(b) ändras med, oavsett vad det fixerade värdet på a är. Däremot, beräknar man √(a - b) för ett värde på a men olika värden på b så förändras värdet på hela uttrycket olika mycket beroende på vilket fixerat värde man ursprungligen valde för a.

Om det här blir för rörigt att hänga med på så rekommenderar jag att du bara godtar att √(a - b) inte är lika med √(a) - √(b) och försöker komma ihåg att det är så.

Tack för att du tog dig tid att förklara, försökte förstå.. men blir till att komma ihåg din sista mening

Utveckla och förenkla;
x·√x + x·√x / √x·√x

Täljaren utvecklar jag till x¹ · x⁰·⁵ + x¹ · x⁰·⁵ = x¹·⁵+x¹·⁵ = 2x¹·⁵
Nämnaren utvecklar jag till X

Sen kommer jag inge längre, och mitt svar stämmer ej med facit
... vad gör jag för fel ?

x·√x + x·√x / √x·√x =
= (x·√x / √x·√x) + (x·√x / √x·√x) =
2x/√x = 2(√x√x)/√x = 2√x

Du gör inte fel, men du slutför inte dina räkningar. Använder du det du skrev får du:
2x¹·⁵/x = 2x¹·⁵/x¹ = 2x¹·⁵⁻¹ = 2x⁰·⁵ = 2√x

Stort tack!
Kände mig säker på detta så blev lite sänkt av att det blev fel, skönt att det bara var slarvfel