*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hej , jag skall beräkna volymen av ett glas med rotationsvolym. Jag delade upp glaset i två areor och använder en funktion som liknar kanten av glaset och som stämmer med koordinaterna.
Jag har dock problem med att hitta en funktion som liknar den övre delen av glaset.

Bild : http://imgur.com/a/UZwIZ

Jag vill att funktionen skall börja vid x=0 och helst börja stiga vid x=2.5. Jag har märkt att 0.032e^x fungerar hyfsat bra , men inte perfekt. Hur kan jag få en så bra funktion som möjligt ?

Eller är min metod helt fel från början skall jag uppskatta volymen på något annat sätt?

Ser ut som

y = |x|, då |x| ≤ 2.5, och
y = 2.5 + (|x| - 2.5)²/2.5, då 2.5 < |x| ≤ 5

är en funktion som stämmer överens med bilden på glaset.

Visa att f(x, y)=(y-x^2)(y-3x^2) har ett strängt lokalt minimum i origo längs varje rät linje genom origo.

Hej, detta är mekanik men det är lite matte här.

Jag har en ellips x^2/a^2+y^2/b^2=1 och ska hitta en krökningsradie kallad

p= (1+y´^2)^3/2 / |y′′|. Hur ska jag derivera ellipsens ekvation? Svaret ska bli p=a^2/b

Edit: Ska jag derivera implicit eller skriva om ekvationen som y=... ?

En rät linje genom origo kan parametriseras genom x = at, y = bt, där a och b är konstanter.
Sätt g(t) = f(at, bt) = (bt-(at)²)(bt-3(at)²).
Vi kan nu bryta ut t²: g(t) = t²(b-a²t)(b-3a²t) = t² + <termer av högre grad i t>.
Här kan vi direkt se att g har ett lokalt minimum i t = 0, dvs i (x, y) = (0, 0).

I det här fallet kan du enkelt lösa ut y så jag föreslår att du kör på det.

Ett alternativ till mannes lösning.

Sök kritiska punkter, dvs. punkter där ∇f(x,y) = 0

∇f(x,y) = (12x³-8xy, 2y-4x²)

Kritiska punkter där

12x³-8xy = 4x(3x²-2y) = 0
2y-4x² = 2(y-2x²) = 0

Vi ser direkt att origo (0,0) är en kritisk punkt. Kategorisera denna med hjälp av kvadratiska formen (som är andra gradens Taylorutveckling av f).

Q(h,k) = Ah² + 2Bhk + Ck² där
A(x,y) = ∂²f/∂x² = 36x²-8y, i (0,0) alltså A(0,0) = 0
B(x,y) = ∂²f/∂x∂y = -8x, i (0,0) alltså B(0,0) = 0
C(x,y) = ∂²f/∂y² = 2 som är samma sak i (0,0).

Det ger kvadratiska formen Q = 2k² som är positivt definit (Q>0, (h,k)≠(0,0)) och således ett strängt lokalt minimum i origo. Det gäller oavsett hur du tar dig dit, således även för varje rät linje, men manne visar detta tydligare.

Man har att

g(t) = t²(b-a²t)(b-3a²t) = b²t² - 4ba²t³ + 3a⁴t⁴

Man kan inte ignorera termerna av högre ordning här eftersom om b = 0 så har man inte t² i början. Om b ≠ 0 så fungerar mannes förslag. Om b = 0 så har man att a ≠ 0, vilket innebär att g(t) = 3a⁴t⁴, vilket har ett strängt lokalt minimum i t = 0.

C(12, 7) är det totala antalet kombinationer. C(10,5) innebär att vi av 10 väljer 5 personer. Om det inte är Erik och Nils som fattas, vilka är det då? (7-2=5).

Jag skulle säga att ingen fattas, inte Erik eller Nils. Utan det vi är intresserad av är på hur många sätt man kan välja ut 7 personer av 12 så att både Erik och Nils ingår. Det är C(10, 5) olika sätt man kan göra det på, eftersom vi väljer ut Erik och Nils sedan fem personer till från de 10 övriga.

Anledningen till att jag menar att det är sättet man bör se det på, är att om man har mängderna
A = Mängden av alla kombinationer av 7 personer från 12.
B = Mängden av alla kombinationer av 7 personer från 12 så att Erik och Nils ingår.
C = Mängden av alla kombinationer av 5 personer från 10, där Erik och Nils är borttagen från de 12 personerna.

Lösningen är ju nu att man söker |A - B| och då B ⊆ A så följer det att |A - B| = |A| - |B|. Om man istället argumenterar för att |A - B| = |A| - |C| så bör man förklara närmare varför denna likhet gäller och notera att |A - C| inte är vad man söker eftersom C inte är en delmängd av A.

Tack så hemskt mycket!

Jag vill förenkla en linjeintegral mha. indexräkning och behöver lite ledning på första omskrivningen. Struntar i integraltecknet då det bara är i vägen. r ortsvektor.

[(r·B)r x dr]_i = ε_ijk [(r·B)r]_j [dr]_k = x_j B_j x_m [dr]_k

Det är i sista steget jag blir osäker. Ska jag införa dummyindex för skalärprodukten och låta r:et längst till höger gå i j-riktningen eller tvärtom? Dvs. (...) = x_m B_m x_j [dr]_k