*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Bestäm alla heltal x som uppfyller kongruensekvationerna:

x² ≡ 1 (mod 8)

Jag förstår inte alls facits förklaring. Jag kommer fram till att:

x² - 1 = 8k (eftersom 8 ska vara en delare till x² - 1)

(x+1)(x-1) = 8k

Hur ska man resonera nu?

Jag utförde precis beviset för z*w. Beviset för z/w är klurigare. Vill du förklara det?

Det spelar ingen roll vilken punkt du tar först eftersom båda svaren är lika.

x = 1 + 2t
y = 1 - t

beskriver exakt samma linje som

x = 1 - 2t
y = 1 + t

så svaren är dom samma. Jag kan så att säga göra variabelbytet s = t/k där k ≠ 0 för att få en ny parametriseringen (men samma linje) så gör man detta byte så får man

x = 1 - 2ks,
y = 1 + ks

här kan jag alltså exempelvis låta k = 100000000 och fortfarande ha samma linje, bara en annan parametrisering och ingen parametrisering är mer rätt än någon annan, bara olika behagliga att räkna med potentiellt.

Om du har att z/w = u så är z = uw därför är

arg(z) = arg(u) + arg(w) ⇔
arg(z) - arg(w) = arg(u)

detta innebär alltså

arg(z) - arg(w) = arg(z/w).

Om man vill finna alla x så att

(x + 1)(x - 1) = 8k

så kan man börja med att notera att x måste vara ett udda tal, så x = 2n + 1 vilket ger

(2n + 2)*2n = 8k ⇔
(n + 1)n = 2k

den senare likheten är alltid uppfylld eftersom att antingen är n + 1 eller n ett jämnt tal. Så x kan vara vilket udda tal som helst.

Men ett annat sätt att resonera på denna uppgift är att bara lägga märke till att det bara finns ett ändligt antal värden x kan vara, så det räcker alltså att testa om x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 för att finna alla lösningar. Man kommer finna att

x ≡ 1, 3, 5, 7 (mod 8)

är lösningarna.

Varför är det så?

Visa att ett tal alltid är delbart med 3 om dess siffersumma är delbar med 3.

Jag förstår inte riktigt hur jag ska bevisa detta. Den här är klurig. Hur ska jag ens börja?

Eftersom om x är jämt så är både x + 1 och x - 1 udda, och då är även produkten udda. Detta innebär alltså att VL skulle vara udda men HL är jämnt, vilket är en motsägelse. Därför måste alltså x vara ett udda tal.

Hej, det finns ingen riktig frågetråd för mekanik men undrar om någon av er kan mekanik eller om jag ska starta en ny tråd om det? Har nämligen ett par frågor

Om talet n är

n = 10^k * a_k + 10^(k - 1) * a_{k - 1} + ... + 10 * a_1 + a_0

där det gäller att 0 ≤ a_i ≤ 9. Ta nu och ta detta mod 3, vad får du?

ett tal,x, i basen 10 kan skrivas som x = a_n*10^n + a_(n-1)*10^(n-1) + ... + a1*10+a0. Nu får du använda att 10^k == 1 mod 3 för k>=0 och då får vi att x == a_n + a_(n-1) + ... + a1 + a0 så x är delbar med 3 omm siffersumman är delbar med 3. Du kan nu själv testa genomföra motsvarande för 9 istället för 3.

Jag förstår att 10^(k) ≡ 1 (mod 3) men hur ska jag skriva om talet med hjälp av den informationen?