*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Jag får fel när jag delar upp i intervall. Hur får du antalet intervall?

Jag antar att du med exp(1/2) och exp(1) menar en exponential fördelad variabel med parametern 1/2 respektive 1, eller är jag ute och cyklar? I sådan fall så skulle jag säga att exp(1/2) är det korrekta eftersom hoppen sker med intensiteten 2, alltså är fördelningen för tiden till det första hoppet en Exp(1/2) fördelning.

Hur kommer man fram till antalet mikrometerlånga intervall, 400 000?

Yes, med exp(u) menar jag en exponentiell fördelad stokastisk variabler med intensitet u.

Detta är min lösning:
Låt T_ij vara tiden tills man kommer till j för första gången givet att man börjar i i. Då är (enl. totala sannolikhetslagen) E[e^(jw*T_20)] = E[e^(jwT_20) | första hoppet till 1]*P(första hoppet till 1) + E[e^(jw*T_20) | första hoppet till 0]*P(första hoppet till 0) = E[e^(jw(exp(1) + T_10))]*1/2 + E[e^(jw*exp(1))]*1/2 och nu är ju T_10 = exp(1) och oberoendet ger att detta är E[e^(jw*exp(1))]*1/2 + E[e^(jw*exp(1))]^2*1/2.

Så vitt jag kan se så handlar a-uppgiften om att det andra och tredje argumentet inte ska spela in (funktionsvärdet ska ju bli detsamma oavsett om andra argumentet är 0 eller 1 och oavsett om tredje argumentet är 0 eller 1). Då blir det alltså fyra funktioner, eftersom det är OK att funktionen ger olika värden beroende på om det första argumentet är 0 eller 1. Första argumentet 0 ska kunna ge 0 eller 1 som funktionsvärde och första argumentet 1 ska kunna ge 0 eller 1 som funktionsvärde, således 2*2 = 4 varianter. Specifikt är varianterna att f ger konstant 0 oavsett argument, att f ger konstant 1 oavsett argument, att f ger samma värde som första argumentet har samt att f ger motsatt värde jämfört med första argumentet.

Enligt det mönstret kan man på b-uppgiften se att andra argumentet måste spela roll (olika funktionsvärde beroende på om andra argumentet är 0 eller 1). Det sista villkoret ger endast att man inte kan ha f(0,0,0) = 0 samtidigt som f(1,1,1) = 1, men övriga kombinationer är OK. Här är det lite klurigare att se hur man ska räkna för att få fram hur många funktioner som är möjliga.

Låt T_1 och T_2 vara tiden till det första hoppet. Du har då att T_1 ~ Exp(1/2). Betingat nu på att första hoppet är till 1 så är T_2 ~ Exp(1). Därför får man att

E[e^(jwT_20)] = E[e^(jw(T_1 + T_2) | Första hoppet till 1)P(första hoppet till 1) + E[e^(jwT_1)]P(första hoppet till 0)

Så det är alltså Exp(1/2) som blir det korrekta.

Tack för ditt svar! Tyvärr så är det inte samma svar som står i facit. Tyvärr verkar det inte heller fungera att kopiera direkt från facit, men det finns facit med kommentarer på sida 2 här, uppgift 3:

http://courses.mai.liu.se/GU/TATA65/...nlsg161025.pdf

Dessvärre förstår jag inte riktigt lösningsmetoden även med facit och kommentarer. Framförallt, "Övriga funktionsvärden kan sedan väljas på 2^5 sätt" förstår jag inte.

Låt T_1 och T_2 vara tiden till det första hoppet. Du har då att T_1 ~ Exp(1/2). Betingat nu på att första hoppet är till 1 så är T_2 ~ Exp(1). Därför får man att

E[e^(jwT_20)] = E[e^(jw(T_1 + T_2) | Första hoppet till 1)P(första hoppet till 1) + E[e^(jwT_1)]P(första hoppet till 0)

Så det är alltså Exp(1/2) som blir det korrekta.

Hej! En fråga om diff. ekvationer där man får resonansfall.

1. y´´(t)+ 2y´(t)+2y(t)= 5 cos(t)

Den homogena lösningen blir 1/e( Acos(t)+ Bsin(t))
Sätter den partikulära lösningen till c*cos(t) +d*sin(t). Enligt facit är det inte resonansfall här, de deriverar partikulära två gånger och sätter in i diff.ekvationen för att hitta c och d och sen klart.

men i denna fråga:

2. y´´(t)+y(t)=sin(t)

den homogena lösning blir e^0(Acos(t)+Bsin(t))
den partikulära lösningen sätts först som c*cos(t)+d*sin(t) men det blir resonansfall. Vad är skillnaden? Är det för att det i början av den homogena lösningen blev 1/e i fråga 1 men bara e^0=1 i fråga 2?

För jag har lärt mig att om den partikulära lösningen liknar den homogena blir det resonansfall. Då är det logiskt att det inte blir resonansfall i fråga 1 för homogena lösningen innehöll även 1/e

En fråga till: Säg att jag har en kontinuerlig markov kedja och att jag är i 2 och hoppar till 1 med intensiteten 1 och till 3 med intensiteten 1. Detta betyder ju att T_1 = tiden tills jag hoppar till 1 är exp(1) och T_3 = tiden tills jag hoppar till 3 är exp(1). Kan man då säga att tiden tills jag hoppar till 1 givet att nästa hopp är till 1 är min(T1,T3) = exp(2)?