*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

my bad. det stod xy-planet.

Men annars det jag skrev

1 0 0
0 0 0
0 0 1

= är det här proj på e2?

1 0 0
0 0 0
0 0 0
= proj på e2 och e3?

Kan man se mha skalärprodukten om någon linje eller plan är paralella? Har rör mig det.

Testa att multiplicera den med valfri vektor (x,y,z) så blir resultatet (x,0,z). Det är alltså projektion på zx-planet.


På motsvarande sätt får du i det här fallet (x,0,0) och det är alltså projektion på x-axeln.

Det är alltså tvärtom jämfört med vad du skrev - den första är projektion på e₁ och e₃ medan den andra är projektion på bara e₁.

Ja, med tanke på att skalärprodukten blir noll för vektorer som är vinkelräta mot varandra så kan man avgöra om en linje är parallell med ett plan genom att beräkna skalärprodukten mellan vektorn och planets normal. Blir det noll så är vektorn vinkelrät mot planets normal, och då är vektorn parallell med planet.

Håller på med en dugga och har typ 50 min kvar och endast en uppgift kvar.. Kan nån hjälpa mig med följande??

Beräkna
∫(-2e^(y+2x)² -y) dx + (-e^(y+2x)² + 2x) dy.

där γ är kurvstycket längs parabeln y=x^2 genomlöpt från punkten (−2,4) till (0,0).

Jag har använt mig av Greens formel, men får inte riktigt till det.

Lösning: Greens formel ∫∫(∂q/∂x - ∂p/∂y) dxdy

Jag får det till

∫∫ 3 dxdy. Sen har jag ingen aning om vad jag ska göra härnäst. Är det ens rätt metod att använda sig av vid den här sortens problem?

Greens formel använder du för slutna kurvor.

En parametrisering av kurvan ges av r(t) = (t, t²) mellan -2 till 0. Sedan använder du att

∫ F·dr = ∫ F·dr/dt dt.

För att Greens formel ska vara tillämpbar så måste man ha linjeintegralen runt ett slutet område. Du kan alltså komplettera med att integrera y mellan 0 och 4 för x = 0 samt x mellan 0 och -2 för y = 4.

Integralen du har plus de två kompletteringarna är då lika med ytintegralen av den modifierade integranden. För den ytintegralen kan du parametrisera ytan genom -2 ≤ x ≤ 0 och x² ≤ y ≤ 4.

Okej, men vad menas med ∫ F·dr = ∫ F·dr/dt dt. ?

Om F = (F_1, F_2) så gäller det att

∫ F·dr = ∫F_1 dx + ∫ F_2 dy

i princip. Däremot så inser jag att integralen inte blir speciellt lätt att beräkna, men det blir den om man gör som nihilverum beskrev.

F är vektorn som integreras, dvs (-2e^(y+2x)² -y, -e^(y+2x)² + 2x), och dr/dt är vektorn (dx/dt, dy/dt) där du har (x, y) = (t, t²) som redan påpekats.

Så alltså med parametriseringen blir F = (-2e^(t^2+t)² -t^2, -e^(t^2+2t)² + 2t) ? Som tidigare användare skrev så blir det en väldigt svår beräkning.

Jag förstod inte alls denna uppgiften..

Ja, fältet längs kurvan blir så där. Men notera att integralen inte är speciellt kul att beräkna.

Om man istället gör som nihilverum föreslog så slut kurvan γ. Dvs dra en ytterligare rak linje från (0, 0) till (-2, 4), kalla denna linje för γ_1.

Nu vill du alltså beräkna

∫_{γ + γ_1} F·dr + ∫_{-γ_1} F·dr

Så γ + γ_1 är alltså en sluten kurva och här kan du använda Greens formel. Sedan har du att -γ_1 är en rät linje från (-2, 4) till (0, 0) som kan parametriseras av r(t) = (t, -2t). Nu får du två betydligt lättare integraler att beräkna än den du började med.