*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Tackar! Dock så har boken inte riktigt kommit till logaritmer ännu men det är precis på nästa sida så det kanske är menat att man ska göra så

Du har inte hittat (x,y) utan du har med hjälp av Euklides algoritm baklänges hittat den multiplikativa inversen 16 (mod 46), och den multiplikativa inversen av 46 (mod 16). Men det verkar som om du har gjort fel, för -1*46 är kongruent 2 (mod 16) och -3*16 är kongruent 2 (mod 46). Det är iofs inte så konstigt när jag tittar på din lösning nu, du måste först dela hela ekvationen med 2 om SGD(a,b) är 2.

Om detta var överkurs för dig så hojta till, jag kan lösa det med en enklare metod, men det är lättare att förstå varför lösningen blir som den blir om man har bra förståelse för delbarhet.

Den diofantiska ekvationen:

16x+46y = 618

På formen:

ax+by = c
Där a,b,c∈ℤ

Syftet med uppgiften är att hitta talpar (x,y) sådan att likheten uppfylls. Dessa talpar skall då vara heltal, i vissa positiva heltal.

Har lösningar om och endast om:

SGD(a,b) = 1
eller om
SGD(a,b) är en delare till c

Vi börjar:
16x+46y = 618
SGD(16,46) = 2
8x+23y = 309

SGD(8,23) med Euklides algoritm:

23 = 8*2+7
8 = 7*1+1
⇒
SGD(8,23) = 1 (finare ord är parvis relativa prima)

Euklides algoritm baklänges:

1 = 8-7 = 8-(23-2*8) = -23+3*8 = 1

Alla led skall hela tiden vara lika med 1, för det är så man finner den multiplikativa inversen.

Detta visar nu då att:

x₀ = 3
y₀ = -1

Det betyder inte att detta är en punkt på den räta linjen som en diofantisk ekvation är i xy-planet. Utan det betyder helt enkelt att vi har den multiplikativa inversen av respektive koefficient för x och y.

Alla värden vi har hittills:

8x+23y = 309
ax+by = c
x₀ = 3
y₀ = -1

Allmän lösning:

x = x₀c±bn
y = y₀c∓an
Där n∈ℤ

Bara stoppa in allt:

x = 3*309-23n
y = -1*309+8n

x = 927-23n
y = -309+8n

Dessa värden på x och y för alla heltal n, kommer nu ge alla heltalstalpar på linjen. Denna räta linjen representerar den diofantiska ekvationen.

Okej, nu sitter jag här med en rolig trig uppg. Bestäm konstanterna c och fi så att C > 0 och -pi < fi <= pi och så att sqrt (3) cos v - sin v = C sin (v + fi) för alla v tillhör alla reella tal.

Och lös sedan ekvationen sqrt (3) cos 2x - sin 2x = 1


Ps jag skriver inte från datorn så har tyvärr inga coola matematiska tecken, så om det är något som är oklart kanske jag kan förklara)

C och c är samma

Blir inte klok på denna uppgift på en inlupp som ska in på fredag, i Signaler & System 1:

http://img836.imageshack.us/img836/4496/fourier.png

Det är första delen av uppgift 4 som jag har problem med, har redan tagit ut fourierkoefficienterna Ak men förstår inte hur man ska gå tillväga för att lösa denna oändliga summa.
Den andra delen av uppgift 4 verkar inte vara krånglig (Ak^2) då man kan använda Parsevals Samband men det är första delen som är knas; hjälp uppskattas.

Hint: Vad är x(0) i termer av a_k:na?

Fourierseren är ju summa a_k*cos(n*pi*x/L). Om x = 0 blir cos(n*pi*0/L) = cos(0) = 1. Därmed övergår serien i 0 till summa a_k. Nu är det väl konvergensen som kan ställa till problem, men kontinuerlig derivata i den punkten ska väl räcka, och det ser det ut som att funktionen har.

Använd additionsformeln för sinus: sin(v + fi) = sin(v)cos(fi) + sin(fi)cos(v) och jämför med sqrt(3)cos(v) - sin(v). Vad kan du säga om cos(fi) och sin(fi), om dessa uttryck ska vara lika?

Hmm, det har varit just detta som vi har kikat på då vi har försökt komma på något vettigt och nu har jag förvisso fuskat lite och kollat på nedanstående inlägg också; men det verkar som att det har varit i stil med det vi klurat på i alla fall. =) Tack för rådet.


Om hjärnan funkar rätt så krävs det med andra ord, att endast, se över vad som man får då x (0); eftersom Summan av Ak är just x ( 0 )?

Att Cos(fi) = -1
sin (fi)= sqrt (3)

Och sen är det bara lösa ekvationen mha lite omskrivningar av sin2x, cos2x och 1?

Nästan rätt, du har glömt konstanten C. C*sin(fi) = sqrt(3), C*cos(fi) = -1.
Jo, det är bara att skriva om vänsterledet med den formel du får fram i första uppgiften.

Precis. Givet att Fourierserien konvergerar mot rätt värde där, vilket den alltså inte alltid behöver göra. Men det finns massa satser som ger olika tillräckliga villkor för att Fourierserien ska konvergera, och den här funktionen uppfyller nog de flesta sådana villkor.

Okej, tack så väldigt mycket! Det kändes som en rätt trivial uppgift liksom de andra men kanske var problemet just att det kändes för enkelt, del 2 av uppgift 4 är ju inte särskilt svår men kräver att man använder sig av en samband, och just samband är något som man är lite mer van vid kanske.