*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Att x = π/6 ⇒ y = cos(2·π/6) = cos(π/3) = 1/2. Vidare, y'(x) = -2sin2x ⇒ y'(π/6) = -2sin(2·π/6) = -2sin(π/3) = -√3

Tangenten: Ansätt y = kx + m. Vi vet att k = -√3 och detta ger: 1/2 = -√3·π/6 + m ⇔ m = 1/2 + (π√3)/6.

∴ y = -√3·x + 1/2 + (π√3)/6

Normalen: Utnyttja att k_n = -1/k_t om k_n är lutningen för normalen och k_t tangentens.

Ansätter y = kx + m och detta ger 1/2 = 1/√3·(π/6) + m ⇔ m = 1/2 - π/(6√3).

∴ y = x/√3 + 1/2 - π/(6√3)

Firmans totala kostnad (K kr) för att producera x detaljer uppskattas till K(x) = 16 000 + 50x + 0,2x^2
Ställ upp ett uttryck för hur kostnaden ändras om produktionen höjs från x detaljer till (x + 1) detaljer.

Suttit med den här uppgiften ett bra tag nu och vet inte hur jag ska lösa den, har redan kollat på svaret och jag har ingen aning om hur jag ska komma fram till det.

Tack för hjälp.

Nja, beroende på vad du menar. Menar du att |s_n - s_a| < ε för n ≥ A, att vi alltså kan betrakta

(1/N)∑^(A-1)s_k + (1/N)(N-A)s_N

och

lim (1/N)∑^(A-1)s_k + (1/N)(N-A)s_N = s?

(Det är inte exakt vad du skrev.) Om så, så tror jag det innehåller idén tlll ett bevis, ja.

Huvudidén är alltså att du ska försöka dela upp summan

1/N (Σ^N s_k)

i dels termer för k stort, där s_k ligger väldigt nära s, och dels termer där k är litet, vilket är ett konstant antal termer, och därmed försumbar när N -> ∞.

Att ta A så att för n ≥ A så är |s_n - s_A| < ε är en väg att gå, men jag tror att det blir enklare om du börjar med att ta A så att för n ≥ A är |s_n - s| < ε. Sen så gör du ungefär samma uppdelning som du gorde.

Hinten ger en förenkling som gör det lite enklare att se vad det är som försiggår, du kan testa det fallet först.

Ja. Företaget försöker maximera sin förväntade vinst, som just ges av det viktade uttryck du anger. (Man gör då ett implicit antagande att företag 2 är riskneutralt.)

Hejsan skulle behöva lite hjälp med en uppgift, vet inte riktigt hur jag ska gå tillväga.

Bestäm a så att funktionen

f(x) = (2−√x)/(4−x) för x skiljt från 4
a för x = 4


blir kontinuerlig för alla x > 0

Tacksam för svar.

f är automatiskt kontinuerlig förutom i punkten x=4.

För att få kontinuitet i punkten x=4, använd att f är kontinuerlig vid x=4 om och endast om lim x->4 f(x) = f(4).

Känner mig lite dum, kan du försöka förklara lite mera?

Ja precis, råkade skriva c_k istället för s_k. Idén jag hade är alltså ungefär som du förklarar. Ska försöka skriva om det och se om jag kan göra det tillräckligt formellt.

Eftersom vi vet att s_n → s då n → ∞, kan vi välja ett A sådant att för n ≥ A gäller det att |s_n - s| < ε. Vi kan då dela upp serien enligt följande

(1/N)∑^(A-1)s_k + (1/N)(N-A)s_N, med gränsen

lim (1/N)∑^(A-1)s_k + (1/N)(N-A)s_N

Då (1/N)∑^(A-1)s_k är ett ändligt antal termer kommer summan att gå mot 0 då N → ∞. Vidare

(1/N)(N-A)s_N = s_N - (A/N)s_N, men A är ett fixt tal som valts för den givna olikheten, alltså kommer även (A/N)s_N → 0. Vi har alltså visat att

lim s_n = lim (1/N)∑^(A-1)s_k + (1/N)(N-A)s_N = lim s_n = s, där den sista likheten är givet från start. Alltså har vi visat att serien är Cesàro-summerbar till s?

Edit:

Vidare, om jag nu vill visa att om s_n → s då n → ∞ så är serien även Abel-summerbar till s, borde jag inte då bara kunna använda Dirchlet's test?

Vi har att

r^k > r^(k+1) > 0

lim r_k = 0 då k → ∞

Det är redan givet att

∑^n|c_k| ≤ M då ∑^n c_k = s_n konvergerar mot s

Eller stämmer detta verkligen? När jag tänker efter så har vi ju bara

|∑^n c_k| ≤*∑^n|c_k|, så det är inte givet att vi har ett sådant M?

Alltså kommer även

∑ c_k r^k att konvergera då r < 1.

Hur lång tid tar det för 20kg is, -10 grader, att smälta till 0 grader om vattnet runt är 4 grader(obegränsad mängd)? Ingen is kvar på slutet. Isen är en kub.

Menar du att det här är exakt lika med uttrycket (vars gränsvärde du försöker visa är s)

(1/N)Σ^N s_k?

För i så fall stämmer det ju inte. Nånstans i ditt bevis behöver du ju också använda approximationen att s_n är nära s för n ≥ a.


Det är okej. För Dirichlets test behöver du bara att |∑^n c_k| ≤ M, vilket du har eftersom ∑^n c_k -> s.

Dock så är det egentligen mycket enklare, du behöver inte nåt så starkt som Dirichlets test:

Vi vet att c_k -> 0, och därmed finns M så att |c_k| ≤ M, därför är

∑ c_k r^k

absolutkonvergent enligt jämförelsetest med Σ M r^k (vilket vi vet konvergerar eftersom det är en geometrisk serie.)


Det här är sant. Du måste dock fortfarane visa att gränsvärdet av ∑ c_k r^k när r -> 1⁻ är s.

Ja, alltså en av definitionerna för kontinuitet säger att f är kontinuerlig i x_0 om och endast om gränsvärdet av f(x) när x -> x_0 existerar, och är lika med funktionsvärdet f(x_0).

För ditt problem vill vi hitta a så att f är kontinuerlig i x_0 = 4.

Vi har att

f(x_0) = f(4) = a

och vill alltså, enligt definitionen för kontinuitet, att

lim_{x->4} f(x) = f(4).

eller med andra ord att

lim_{x->4} f(x) = a.

Detta är ekvivalent med att (detta är inte helt uppenbart, men beroende på hur stringent man ska vara så tycker jag det är okej att bara anta det)

lim_{x->4} (2−√x)/(4−x) = a

och titta, vi har en ekvation ur vilken vi kan bestämma a!

Sannolikheten att en fågelmamma inte är i boet är 37/60. Sannolikheten att inte en enda fågelmamma är i sitt bo är (37/60)^11. Att minst en mamma är i sitt bo är komplementhändelsen till detta, och sannolikheten är således 1-(37/60)^11