2011-02-20, 21:10
#7309
Citat:
I r ser vi att (om x=u, y=v·cos u, z = v·sin(u)) att y² + z² = v². Ytan är alltså, om man projicerar ner den i yz-planet, en cirkelskiva med radien 1. (Eftersom 0<v<1.) Sedan är x-koordinaten en "höjd" från yz-planet, och den höjden varierar med värdet på u (vilken kan ses som en vinkel). Det blir alltså någon sorts skruv/spiralformad yta. (För övrigt kan man notera att det är en diskontinuitet om v → 0 men u varierar, men det är inte centralt i uppgiften. Därför gäller sträng olikhet mot 0 för v. )
Ursprungligen postat av Multiface
hur beräknar jag flödet av fältet F(x,y,z) = (2x,-z,y) genom ytan S: r(u,v) = (u,v·cos u, v·sin u) , 0<u<π , 0<v<1 i riktning n · x > 0
tack på förhand
tack på förhand
Då ska vi titta på själva uppgiften ∫∫ F•nhat dS = ∫∫ F(r(u,v))•(r'_u×r'_v)dudv
r'_u = (1, -v·sin u, v·cos u)
r'_v = (0, cos u, sin u)
r'_u × r'_v = {beräkna} = (-v, -sin u, cos u)
Men vi vill ju att x-koordinaten i denna vektor ska vara positiv, enligt nhat•x > 0, så vi byter tecken. (v, sin u, -cos u) blir det alltså.
F(r(u,v)) = (2u, -v·sin u, v·cos u).
F(r(u,v))•(r'_u×r'_v) = 2uv - v·sin² u - v·cos² u = 2uv - v
Integrera denna integrand över avsett område 0 < v < 1, 0 < u < 2π. Klart!
