*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Du skall nyttja konjugatregeln. Jag skall förklara mer nedan, du kan också nyttja faktorsatsen men det behövs inte.

I vilket fall så skall du känna igen att (x-5)(x+5) = x²-25

Då kan vi alltså skriva om gränsvärdet såhär:

lim [x→-5] (x²-25)/(x+5) =
lim [x→-5] (x-5)(x+5)/(x+5) = [nu kan vi stryka bort faktorer]
lim [x→-5] (x-5) = -5-5 = -10

Svar: -10

Anledningen till att det inte går att lösa genom att bara stoppa in -5 överallt där det står x är att i både täljaren och nämnaren har vi två polynom där båda har ett nollställe som är -5. 0/0 blir konstigt och kan bli lite vad som helst, därför "måste" man faktorisera för att kunna bryta ut. Är en simpel metod i alla fall.

Tack för svaret! Förstår de simplare uträkningarna nu men fick problem med dessa två,

lim[h→0] h³+3h²x+7hx/h
.
och
.
lim[x→-1] x³-x/1+x

Mina uträkningar kan du se i spoilern, men tror jag gjort fel så därför jag frågar.

Du kan inte räkna en h i kvadrat som en vanlig h. h²+2hx+7x är inte lika med 11x

Såhär hade jag gjort: (kommer vara övertydlig)

lim [h→0] (h³+3h²x+7hx)/h =
lim [h→0] h²+3hx+7x =

Vi vet att gränsvärdet av en summa är lika med summan av gränsvärdena, därför har vi att:

lim [h→0] h²+3hx+7x =
lim [h→0] h² + lim [h→0] 3hx + lim [h→0] 7x

lim [h→0] h² = 0
lim [h→0] 3hx = 0
lim [h→0] 7x = 7x

Alltså är:

lim [h→0] (h³+3h²x+7hx)/h = 0+0+7x = 7x

En offtopic fråga bara, har du gjort derivering ännu?


Skall visa hur jag hade löst denna:

lim[x→-1] (x³-x)/(1+x)

Då vill jag först poängtera att vi ser att -1 är ett nollställe till både polynomet i täljaren och nämnaren. Då kommer vi få en typ "0/0". Eftersom division med noll inte är definierat så måste vi nyttja något som kallas faktorsatsen. Numera ingår inte faktorsatsen i Ma C, men för att lösa denna typ av uppgift så behöver man kunna faktorsatsen eller polynomdivision. Jag skall visa hur faktorsatsen fungerar, något som antagligen också står i din bok om du kollar på ditt index. (gör det!). Öva på sådana också, för det kommer hjälpa dig otroligt mycket, speciellt om du skall läsa mer än Ma C senare.

Tips. Att hitta ett polynoms nollställen är samma sak som att lösa ekvationen för polynomet i likhet med noll. Nollställen till (1+x),
kan då finnas genom att ställa upp ekvationen:

(1+x) = 0

För när man skriver detta så frågar man: "För vilka/vilket x, är hela detta uttrycket lika med noll?"

Hur som helst:

x³-x är en ekvation av grad tre, jag skall faktorisera den så mycket som möjligt.
x³-x = x(x²-1)

Vi tittar nu på biten (x²-1), det är också ett polynom som också har nollställen. Detta polynomet kan vi finna nollställena med hjälp av konjugatregeln. Ty (x²-1) = (x-1)(x+1)

Då vet vi att:

x³-x = x(x²-1) = x(x-1)(x+1)

Vi går nu tillbaka till kvoten i gränsvärdet som vi hade ifrån början:

lim[x→-1] (x³-x)/(1+x) =
lim[x→-1] x(x-1)(x+1)/(1+x) =
lim[x→-1] x(x-1) = -1(-1-1) = -1*(-2) = 2

Just eftersom de delade nollställen, som vi konstaterade i början, så kan man faktorisera polynom på detta viset och därmed "dela bort" den delen som som gjorde att vi fick 0/0, så att vi inte längre får noll genom noll. Det är egentligen ganska många steg för att förstå detta, mycket du måste vara bekant med sedan innan osv. Men det är bra algebraisk träning både för ekvationslösning och uttrycksförändring.

Några mer frågor?

Mvh BengtZz

Tackar så sjukt mycket! Jo vi har hållit på med det ett tag men har haft långa uppehåll för prao osv. så har helt glömt bort. Har försökt att räkna igenom ifrån början men är fortfarande diffust men det börjar släppa lite iaf.

funktionen y=f(x) så ska man räkna ut lite olika saker.
f'(2) fick jag ut att det är 3
f'(x)= 0 fick jag ut att det är x=4

sen dessa lyckas jag inte lösa,
f'(8)
f(8)
och f(x)= 2

Ska försöka klura på de ikväll och imorgon, kan återkomma då och se om jag lyckats lösa det.

Var så god!

Lycka till

Ok nu förstår jag frågan

Bör det inte vara volymen av halvklotet minus volymen av pyramiden?

Radien av klotet är a.

Volymen av ett klot är:

(4/3)pi*r^3

Volymen av ett halvklot är:

(4/3)pi*r^3/2 =(2/3)pi*r^3

Vår radie är a --> Volymen av halvklotet är (2/3)pi*a^3

Volymen av pyramiden är:

(1/3)*A*h , där A är basarean och h är höjden. Då får vi följande:

(1/3)*(2a)^2*a=(1/3)*4a^3

halvklotsvolymen - pyramidvolymen=(2/3)pi*a^3 - (1/3)*4a^3=(2/3)(pi-2)a^3

Detta är alltså volymen som sticker ut utanför pyramiden.

Hur stor andel av klotvolymen sticker ut?

(2/3)(pi-2)a^3/ a^3((1/3)*(2pi-1))=(2pi-4)/(2pi-1)

Nej för det finns en del av pyramiden som också är utanför klotet. Subtraherar man då bort hela volymen av pyramiden så subtraherar man bort för mycket. I varje hörn på den kvadratiska basytan av pyramiden så när inte cirkeln ut. Denna volym som är här i dessa fyra hörn är alltså den del av pyramidens volym som är utanför halvklotet. Den del av halvklotet som är utanför pyramiden är där halvklotet tangerar den kvadratiska basytan.

Så det går inte att göra så.

Hej
Behöver lite hjälp med att förstå hur den primitiva funktionen till ∫(1/(cos 4x + 1)) dx bestäms

∫(1/(cos 4x + 1) = ∫(1/2) * (2/(cos 4x +1)) dx = (1/2) ∫(1/(cos^2 2x)) dx = (1/2) * (1/2) * tan 2x + C

Förstår inte hur det går från ∫(1/(cos 4x + 1) till ∫(1/2) * (2/(cos 4x +1)) dx (vart kommer (1/2) och 2 i täljaren ifrån)?

samt (2/(cos 4x +1)) dx till (1/2) ∫(1/(cos^2 2x)) dx (vad händer med 2:an i täljaren samt cos 4x +1 i nämnaren)?
Har det något med att 1/2(1 + cos x) = cos^2 (x/2)?

Någon som kan visa vad som händer?

tacksam för all hjälp

mvh

∫(1/(cos 4x + 1) till ∫(1/2) * (2/(cos 4x +1)) dx

Förlängt bråket med 2 bara och brutit ut en halv.

Ahh... fan också

Detta steget är ganska invecklat, i alla fall att bara skriva ut det direkt sådär. Det är inget som man naturligt ser, inte jag i alla fall.

(1/2)(2/(cos(4x)+1)) = (1/2)(1/cos²(2x))

Du undrar varför det är så, se då nedan.

Men jag kan försöka visa så pedagogiskt som möjligt:

2/(cos(4x)+1) =
2/(cos(2(2x))+1) =
2/(cos²(2x)-sin²(2x)+1) = [cosinus dubbla vinkeln]
2/(cos²(2x)-sin²(2x)+cos²(2x)+sin²(2x)) = [trigonometriska ettan]
2/(cos²(2x)+cos²(2x)) =
2/(2cos²(2x)) =
1/(cos²(2x))

hoppas I.A inte misstycker att jag lånar lite, men hur kommer du från övre till undre fetmarkerad rad?