Citat:
Ursprungligen postat av spudwish
Bestäm största/minsta värde av f(x,y) = xy/(1+x^4+y^2) i första kvadranten.
Största och minsta värde existerar, men "varför"? Första kvadranten är ju ingen begränsad mängd, som ju är ett av villkoren för att största/minsta värde existerar. Det gäller iofs att f(x,y) -> 0 då x^2+y^2 är stort, men räcker det som motivering att största/minsta värde existerar?
Ja. Mer specifikt såhär:
Låt ε vara > 0, men mindre än t.ex. f(1, 1). Låt M vara så att
(1) M ≥ 2
(2) om x² + y² > M, och x ≥ 0, y ≥ 0, så är f(x, y) < ε.
Betrakta området D, givet av
D = {(x, y): x ≥ 0, y ≥ 0, x² + y² ≤ M}.
Detta område är kompakt, så f har ett maximum där, säg vid x_0, y_0.
Då är detta ett maximum för hela globala första kvadranten K = {(x, y): x ≥ 0, y ≥ 0}, ty om (x,y) är i första kvadranten så gäller att antingen är
(a) (x,y) ∈ D eller
(b) (x, y) ∉ D
I fall (a) är f(x_0, y_0) ≥ f(x, y), eftersom (x_0, y_0) är ett maximum för f i D. I fall (b) är f(x_0, y_0) ≥ f(1, 1) (eftersom (1,1) ∈ D) och f(1, 1) ≥ ε > f(x, y) (eftersom (x, y) har x² + y² > M), så i vilket fall är f(x_0, y_0) ≥ f(x, y). Därför är (x_0, y_0) en maximipunkt för f i hela första kvadranten.
Och det ser helt rätt som du har gjort. Och Wolfram|Alpha håller med. Feltryck i facit kanske?
