*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Finns det något enkelt sätt att se om man ska använda variabelsubstitution eller partiell integrering på en integral? Tenta snart och jag har rätt svårt för det.

Om du har ett uttryck (inte bara en variabel) som argument till sin, cos, ln, sqrt, så testa variabelsubstitution genom att sätta en ny variabel lika med det inre uttrycket.

Om du har en produkt, pröva partiell integrering.

Omk=2H+D+D*pi/2 och A=HD+D^2*pi/4 men sen då?

Polynomet p(x) = (3*pi^2)/2 + (3*pi*x)/4 - 2*pi^2*x - (3*x^2)/4 - pi*x^2 + x^2

har ett rationell nollställe. Faktorisera polynomet.

Ja antar då att jag skall gissa en rot. Grejen är den att jag har inte gissat en rot på ett sådant tal förut..
Tänkte kolla då om någon vet något smidigt sätt att lätt kunna se vad roten kanske är?

Får heller inte använda en miniräknare.

Det finns en sats, som heter "rational root theorem" på engelska, som direkt ger villkor för vilka tal denna rot kan vara.

Har läst på om det nu..

px^n + an–1x^n–1 + ··· + a2x2 + a1x + q = 0

Då finner man rötter genom att:

Factors of P delat med Factors of q

Mitt problem nu är ju att jag ser inte vad som är p & q i min ekvation.

Jag läste inte igenom ditt polynom ordentligt första gången. Eftersom det är av grad två så antar jag att du redan kan lösa ekvationen p(x)=0, och därmed faktorisera.

RRT är inte applicerbar, eftersom alla koefficienter inte är heltal.

Fast den har väl som villkor att koefficienterna i polynomet ska vara heltal? I det här fallet är ju pi inblandat.


Skriv om p(x):
p(x) = (3*pi^2)/2 + (3*pi*x)/4 - 2*pi^2*x - (3*x^2)/4 - pi*x^2 + x^2
= (3/2 - 2x) * pi^2 + (3x/4 - x^2) * pi + (-3x^2/4 + x^2)

Om vi sätter in det rationella nollstället så kommer var och en av polynomkoefficienterna 3/2 - 2x, 3x/4 - x^2 och -3x^2/4 + x^2 (= x^2/4) att vara rationella.

Eftersom pi är icke-algebraiskt finns inga rationella tal a, b, c, alla skilda från noll, så att a pi^2 + b pi + c = 0.

För att få p(x) = 0 för ett rationellt x måste därför 3/2 - 2x = 0, 3x/4 - x^2 = 0 och 3x^2/4 + x^2 = 0. De två första uppfylls om x = 3/4, men inte den sista.

Har du skrivit av uppgiften fel? Eller är det jag som gör fel någonstans?


Edit: Hade gjort ett teckenfel, men det hade ingen betydelse för att uppgiften måste vara fel.

Slår man in det i Wolfram Alpha får man inga rationella rötter, så någonstans finns ett fel.

Omkretsen ska vara lika med L: 2H+D+D*pi/2 = L.
Lös ut H: H = (L - D - D*pi/2)/2.
Sätt in i A: A = (L - D - D*pi/2)D/2 + D^2*pi/4 = LD/2 - D^2/2.
Nu har du ett uttryck i bara en variabel, D.
Derivera och sätt derivatan lika med 0 för att finna vilket D som ger maximum.
Sedan kan du enkelt få fram maximal A.

Jag har skrivit fel! Hade skrivit x^2 som sista term. Det skall vara x^3

Detta är korrekt:
(3pi^2)/2 + (3pix)/4 - 2pi^2x - (3x^2)/4 - pix^2 + x^3

= (3/2 - 2x) pi^2 + (3x/4 - x^2) pi + (-3x^2/4 + x^3)
= 2 (3/4 - x) pi^2 + (3/4 - x) x pi - (3/4 - x) x^2
= (3/4 - x) (2 pi^2 + x pi - x^2)

Alltså är x = 3/4 en rot.

Övriga rötter fås genom att lösa 2 pi^2 + x pi - x^2 = 0 och blir x = 2 pi samt x = -pi.

Faktoriseringen blir därför p(x) = (x - 3/4) (x - 2 pi) (x + pi).