2010-11-25, 21:55
#3613
2010-11-25, 21:57
#3614
2010-11-25, 22:47
#3618
2010-11-25, 22:50
#3619
Citat:
Tack så mycket för hjälpen
Ursprungligen postat av Otrolig
Antar att du ska beräkna integralen ∫ (z³·e^(1/z))/(1+z) dz kring cirkeln |z| = 5? Isåfall gör du bäst i att göra ett variabelbyte sådant att w = 1/z och ny kurva att integrera över är alltså |w| = 1/5. Observera att i och med inverteringen kommer den nya kurvan att byta riktning (från moturs till medurs).
∫ (z³·e^(1/z))/(1+z) dz = ∫ ((1/w³)·e^w)/(1 + 1/w)·(-dw/w²) = -∫ e^w/(w⁵ + w⁴) dw
Byter du riktning på kurvan så byter den tecken (vi vill ha moturs så vi kan använda residysatsen) och vi ska alltså då evaluera ∫ e^w/(w⁵ + w⁴) dw över |w| = 1/5. Innanför denna kurva ligger endast singulariteten w = 0 som är en pol av ordning 4.
Res {w = 0} e^w/(w⁵ + w⁴) tar vi enklast fram genom serieutveckling.
e^w/(w⁵ + w⁴) = 1/w⁴·(1 + w + w²/2! + w³/3! + O(w⁴))/(1 + w)
Serieutveckling av 1/(1 + w) = (1 + w)⁻¹ = 1 - w + w² - w³ + O(w⁴) och vi får:
e^w/(w⁵ + w⁴) = (1/w⁴ + 1/w³ + 1/2w² + 1/6w + O(1))·(1 - w + w² - w³ + O(w⁴))
Då vi söker Laurent-koefficienten för 1/w multiplicerar vi endast ihop de intressanta faktorerna:
⇒ -1/w + 1/w - 1/2w + 1/6w = (1 - 3)/6w = -2/6w = -1/3w
∴ Res {w = 0} e^w/(w⁵ + w⁴) = -1/3
∴ ∫ (z³·e^(1/z))/(1+z) dz = ∫ e^w/(w⁵ + w⁴) dw = 2πi·[Res {w = 0} e^w/(w⁵ + w⁴)] = -2πi/3
∫ (z³·e^(1/z))/(1+z) dz = ∫ ((1/w³)·e^w)/(1 + 1/w)·(-dw/w²) = -∫ e^w/(w⁵ + w⁴) dw
Byter du riktning på kurvan så byter den tecken (vi vill ha moturs så vi kan använda residysatsen) och vi ska alltså då evaluera ∫ e^w/(w⁵ + w⁴) dw över |w| = 1/5. Innanför denna kurva ligger endast singulariteten w = 0 som är en pol av ordning 4.
Res {w = 0} e^w/(w⁵ + w⁴) tar vi enklast fram genom serieutveckling.
e^w/(w⁵ + w⁴) = 1/w⁴·(1 + w + w²/2! + w³/3! + O(w⁴))/(1 + w)
Serieutveckling av 1/(1 + w) = (1 + w)⁻¹ = 1 - w + w² - w³ + O(w⁴) och vi får:
e^w/(w⁵ + w⁴) = (1/w⁴ + 1/w³ + 1/2w² + 1/6w + O(1))·(1 - w + w² - w³ + O(w⁴))
Då vi söker Laurent-koefficienten för 1/w multiplicerar vi endast ihop de intressanta faktorerna:
⇒ -1/w + 1/w - 1/2w + 1/6w = (1 - 3)/6w = -2/6w = -1/3w
∴ Res {w = 0} e^w/(w⁵ + w⁴) = -1/3
∴ ∫ (z³·e^(1/z))/(1+z) dz = ∫ e^w/(w⁵ + w⁴) dw = 2πi·[Res {w = 0} e^w/(w⁵ + w⁴)] = -2πi/3
. Skulle du möjligtvis kunna ge mig en ledning på uppgiften efter(upg. 6.6)?
2010-11-25, 23:24
#3624
Stöd Flashback
Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!
Swish: 123 536 99 96 Bankgiro: 211-4106
