*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

http://www.mattetavling.se/problem

N/n=√((a+b)/(a-b)). Hur löser man ut a? Tack på förhand.

Kvadrera, multiplicera upp a-b, utnyttja distributiva regeln, samla a-termer i vänsterledet och b-termer i högerledet, faktorisera (distributiva regeln omvänt), dividera så att du får a ensamt i vänsterledet. Voila!

Icke-reella rötter till andragradsekvationer med reella koefficienter består alltid av det som kallas "konjugerande par". Det innebär att om z1=a+bi är den ena roten, så är den andra roten z2=a-bi. Varför är det så? Motivera!

Vi har alltså z^2 + pz + q = 0

Rötterna till ekvationen är då

z=-p/2 +- sqrt[(-p/2)^2 - q]

Då (-p/2)^2 - q < 0 får vi komplexa rötter.

z=-p/2 +- i(p/2 - sqr(q)) (teckenfel?)

z1= -p/2 + i(p/2 - sqr(q)) (a+bi)
z2= -p/2 - i(p/2 - sqr(q)) (a-bi)


Är detta en godtagbar motivering? Dom komplexa rötterna bildar ju tillsammans ett konjugerande par.

Ja, man kan också se det så här. Polynomet kan faktoriseras som (x-a)(x-b) = x^2 - (a+b)x + ab, alltså är a + b = p och ab = q. Då måste det gälla att a och b har motsatta imaginärdelar, annars kan deras summa inte bli reell. Om deras produkt ska bli reell måste de ha samma realdel också. Säg att de är a = n+ki och b =m-ki. Då är Im{ab} = mki - nki. Im{ab} = 0 => m = n.

Ytterligare ett resonemang är att

P(x) = x^2 + px + q = 0 => (x^2 + px + q)* = 0* = 0

där * betecknar konjugatet. Konjugatet är snällt och distribuerar över summor och produkter och komplexa tal så vi kan skriva vänsterledet som

(x^2)* + p*x* + q* = (x*)^2 + px* + q = P(x*) = 0

där konjugaten på p och q försvann eftersom de är reella. Det här resonemanget gäller för polynom av godtycklig grad med reella koefficienter.

Behöver hjälp med lite bråkräkning. Datorn får rätt resultat på x1 och x2. Men inte jag. =/

x=-(10/3)/2 ± sqrt( ((10/3)/2)^2 + 4/3 )

Octave säger:
x1 = 0.36092
x2 = -3.9643

Maxima säger:
x1 = sqrt(37)/3 - 5/3
x2 = -sqrt(37)/3 - 5/3

Tackar! Alltid kul att se saker ifrån olika synvinklar.

Funderar på en sak till.

Anta att vi har ekvationen x^2 + ax + b kvadratkompletering ger,

(x+(a/2))^2 = (a/2)^2 -b <=> x + a/2 = (+-) sqrt((a/2)^2 - b)

Hur kan det bli (+-) på vänster sida i likheten då ingen okänd variabel finns med där? Är det så att det egentligen blir det höger sida där x finns med, men att man flyttar över det till andra sidan? Då kan jag förstå att det stämmer.

N/n=√((a+b)/(a-b))

(N/n)²=(a+b)/(a-b)

(N/n)²(a-b)=a+b

Där fastnar jag... Hur utnyttjar jag den distributiva regeln? Gör jag något fel? Har glömt bort en stor del av den här sortens matte.

(N/n)²(a - b) = a + b
a(N/n)² - (N/n)²b = a + b
-(N/n)²b - b = a - a(N/n)²
-(N/n)²b - b = a(1 - (N/n)²)
(-(N/n)²b - b)/(1 - (N/n)²) = a

N/n=√((a+b)/(a-b))

N^2 / n^2 = (a+b)/(a-b)

N^2(a-b) = n^2(a+b)

N^2*a - N^2*b = n^2*a + n^2*b

N^2*a - n^2*a = N^2*b + n^2*b

a(N^2 - n^2) = b(N^2 + n^2)

a = [b(N^2 + n^2)] / [N^2 - n^2]

Tack båda!

x=-(5/3)±sqrt((5/3)^2+4/3)=-(5/3)±sqrt(25/9+4/3)=

= -(5/3)±sqrt(25/9+12/9)= -(5/3)±sqrt(37/9)

x1=-(5/3)+sqrt(37/9)=0.360920
x2=-(5/3)-sqrt(37/9)=-3.694254