*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

När man har ekvationer innehållandes den naturliga logaritmen ska man i allmänhet sätta e^lnx. Då tar e och ln ut varandra så att endast x återstår. Det blir lättast om koefficienten framför lnx är 1.

I detta fall är det lättast att bryta ut lnx eftersom den förekommer i två termer:

1/3*lnx + 2/3*lnx = 10
lnx(1/3 + 2/3) = 10

Nu visar det sig att parentesen blir 1, sån tur har man vanligtvis inte.

lnx=10

e^lnx=e^10

x=e^10

Vi vet att i en nxn-kvadrat finns det (n-k+1)^2 positioner för en (n-k)x(n-k)-kvadrat.
Hur visar vi det totala antalet kvadrater av alla storlekar som kan finnas i nxn-kvadraten då?

Svaret ska vara (1/6)*n( n + 1 )( 2n + 1 ) men hur tar man steget dit?

men säg att det är 1/3*ln(x/y) + 2/3*lnx = 10 gör man likadant då?

Det finns logaritmlagar som säger att a*ln(b)=ln(b)^a och ln(a)+ln(b) = ln(ab) samt ln(a)-ln(b)=ln(a/b).
Tillämpar vi den första på den förra uppgiften 1/3*ln(x) + 2/3*lnx = 10 ger det

ln(x^(1/3)) + ln(x^(2/3)) = 10

Därefter används den andra lagen

ln(x^(1/3)*(x^(2/3)) = 10

Sedan finns ytterligare regler som säger att a^b * a^c = a^(b+c)

ln(x)=10 där ln(x^((1/3)+(2/3)))=ln(x)

Svaret på din fråga är nej, det måste vara samma innanför ln(t) för att just den metoden jag visade förut ska funka. Men finns fler sätt att lösa just din ekvation, den metod jag nyttjade förut var lättare i just det fallet men när det blir lite svårare är den jag har visat här att rekommendera.

Nej, n' betyder n + 1.
Läs om det med ombytta beteckningar:
"Antag att satsen gäller då n är godtycklig.
om vi nu provar med n+1 får vi:
2 + 4 + . . . + 2n + 2(n+1)
Om formeln är sann ska det ju gälla då att VL = (n+1)(n+2).
Vi ser att HL = (2 + 4 + . . . + 2n) + 2(n+1). Den första termen är ju, enligt vårt antagande, lika med n(n+1) så vi får HL = n(n+1) + 2(n+1) = {bryt ut (n+1)} = (n+1)(n+2), vilket ger HL = VL, vilket skulle bevisas.

På din andra fråga:
1+2+4+ . . . + 2^n
(Det här är alltså summan 2^0 + 2^1 + 2^2 + . . . + 2^n.)
När n = 1 får vi: 2^0 + 2^1 = 1 + 2 = 3. Formeln ger då n=1: 2(1+1) - 1 = 4-1 = 3. OK!
Antag att formeln gäller för ett godtyckligt n.
Prova att sätta in n+1 istället för n.
Då får vi VL = 1 + 2 + 4 + . . . + 2^n + 2^(n+1).
Om formeln stämmer ska vi ju, om vi sätter in n+1, få: HL = 2^(n+2) -1.
Vi ser att VL = (1 + 2 + 4 + . . . + 2^n) + 2^(n+1) = (2^(n+1) - 1) + 2^(n+1) = 2*2^(n+1) -1 = 2^(n + 2) - 1. Vi ser alltså att VL = HL, vilket skulle bevisas.

Hej! behöver hjälp med lite derivering

a) (e^x+e^-x)^2

b) (x+2)^2/(x^2)

f(x)=(e^x+e^-x)^2 (använder f(x) för enklare att följa)

Använd kedjeregeln

u(x)=e^x+e^-x
f(x)=u(x)^2

Derivator:
u'(x)=e^x-e^-x
f'(x)=2*u(x)

Sätt ihop igen (enligt kedjeregeln u'(x)*f'(x):
2*(e^x+e^-x)*(e^x-e^-x)=2*(e^2x-1-e^-2x+1)=2*(e^2x-e^-2x)

svar: 2*(e^2x-e^-2x)



Löser ut
(x+2)^2=x^2+4x+4

(x^2+4x+4)/x^2

bryter upp bråket
x^2/x^2+4x/x^2+4/x^2=1+4/x+4/x^2

Derivera
-4/x^2-8/x^3

Skriver ihop igen
-(4x+8)/(x^3)

svar:-(4x+8)/(x^3)

Är på en ny uppgift nu. Jag har svårt att förstå det här med trigometriska ettan.

visa att cos²v * (tan²v +1) = 1

Jag förenklar VL genom att göra tan till sin/cos och ettan = cos/cos. Då får jag:

cos2v * sin2v

Men jag har ingen aning hur jag ska göra med gånger, boken ger inga typ exempel på det.

Inte säker att man lär sig partialbråksuppdelning i gymnasiet. Kanske lite lättare för honom att tillämpa kedjeregeln på (x+2)^2 * x^(-2)

Testa att endast skriva om tan²v som sin²v/cos²v och utveckla parentesen.

cos²v*(tan²v+1)=cos²v*(sin²v/cos²v+cos²v/cos²v)=cos²v*((sin²v+cos²v)/cos²v).
Här kan du stryka cos²v och får att sin²v+cos²v=1

Hjälp med Envaraibelanalys Differentialekvationer

Lös differentialekvationen y' = 4xe^(2x-y)
Bestäm särskilt lösningen som uppfyller y(0) = 0.

Jag kan inte se om det är separabel eller linjär differentialekvation. Någon som kan hjälpa mig?