Citat:
Ursprungligen postat av KexxeT
Jag är förmodligen jävlig torsdagströg eller någon åt det hållet.
p(x) 2(x+2)(x-6)
=> i utvecklad form p(x) 2x^2-8x-24
Kan någon beskriva steg för steg hur man multiplicerar det olika talen med varandra för att få det slutgiltiga svaret som jag skrev på den undre raden?
Genom associativitet hos multiplikation, αβγ = (αβ)γ = α(βγ), kan vi börja med att utveckla parentesparet.
Distributivitet från vänster, α(β+γ) = αβ+αγ, ger (x+2)(x-6) = (x+2)x - (x+2)*6.
Distributivitet från höger, (α+β)γ = αγ+βγ, ger sedan (x+2)x = x*x + 2x och (x+2)*6 = x*6 + 2*6.
Vi får alltså (x+2)(x-6) = (x*x + 2x) - (x*6 + 2*6).
Eftersom α - β = α + (-1)*β, gäller (x*x + 2x) - (x*6 + 2*6) = (x*x + 2x) + (-1)*(x*6 + 2*6), vilket vi genom distributivitet från vänster kan skriva om som (x*x + 2x) + ((-1)*(x*6) + (-1)*(2*6)).
Associativitet hos addition gör att vi kan plocka bort några parenteser:
(x*x + 2x) + ((-1)*(x*6) + (-1)*(2*6)) = x*x + 2x + (-1)*(x*6) + (-1)*(2*6).
Kommutativitet och associativitet hos multiplikation ger (-1)*(x*6) = (-1)*(6*x) = (-1)*6*x = -6x.
Vidare kan (-1)*(2*6) beräknas till -12.
Genom definition av α^n kan vi skriva om x*x som x².
Vi får alltså (x+2)(x-6) = x² + 2x + (-6x) + (-12).
Associativitet hos addition gör att vi kan betrakta 2x + (-6x) och för denna använda distributivitet från höger "baklänges" för att skriva om det som (2 + (-6))x, vilket förenklas till (-4)x = -4x.
Alltså, (x+2)(x-6) = x² + (-4x) + (-12) = { återigen α - β = α + (-1)*β } = x² - 4x - 12.
Nu skall vi bara multiplicera in tvåan, dvs använda distributivitet:
2(x+2)(x-6) = 2(x² - 4x - 12) = 2*x² - 2*4x - 2*12 = 2x² - 8x - 24.
