*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

En snabb fråga, vill veta om jag har gjort rätt.

Lös ekvationen: 2sin2x=1 0<x<90
Gör man så här då?

2sin2x=1
sin2x=0.5 //Delar med 2
2x=30 + n*360 //när man använder arcsin så lägger man till perioden
x=15 + n*180 //Delar med 2


Jag vet inte om det är så man ska göra eller inte, är det rätt?

Det ser bra ut. Du får dock gärna specifiera att n är ett tal som tillhör Z (alltså att n är ett heltal)

Ett induktionsbevis har tre steg;
1. Visa att det gäller för något tal
2. Anta att det gäller för ett tal n
3. Visa att om det gäller för n så gäller det också för n+1

Har man gjort det så har man visat att om det gäller för ett tal, så gäller det också för nästa tal, och har man visat i steg 1 att det gäller för nåt tal så gäller det också för alla andra.

Okej! Vad menas med rekursiv och sluten formel? Har det någon betydelse i sammanhanget?

En rekursiv formel ger dig ett värde på a_n genom att använda tidigare värden, i en sluten formel får du värdet på a_n direkt om du vet n.

I det här fallet kan du ta hjälp av det genom att du först antar att a_n=7n+5 och sen vill du försöka visa att det stämmer för a_(n+1), enligt din rekursiva formel vet du att a_(n+1)=a_n+7, då kan du sätta in uttrycket för ditt antagande istället för a_n för att se om det leder till din slutna formel; a_(n+1)=7(n+1)+5

Analys

Pluggar lite analys för mig själv och har stött på lite problem:

Show that for any finite set S of real numbers, both sup S and inf S exist and are elements of S. Hint: Use induction on k, the number of elements on S

Suppose that c is a real number such that for all e > 0, it is true that |c| < e. Prove that c must be 0.

Tackar så mycket för all hjälp man kan få

Borde väl gå med något slags motsägelsebevis? Typ, anta att c är skilt från 0. Då finns något e sådant att 0 < e < |c|, vilket säger emot förutsättningarna. Alltså kan inte c vara skilt från 0, vsv.

Teknisk fråga om lösningar till Laplaces ekvation i sfäriska koordinater.

Säg att man har Laplaces ekvation med ett randvillkor på en sfär r = a, samt att lösningen ska vara ändlig i r = 0 och r = oo. Om vi antar att lösningen är oberoende av phi (följer detta av att randvillkoret är det?) kan lösningen skrivas som

F = \sum (A_n r^(-n-1) + B_n r^n) P_n(cos theta)

där P_n är legendrepolynomen. Nu har jag fått lära mig att för r < a kan vi inte ha några A_n-termer, för de är inte ändliga i r = 0, och på samma sätt kan vi inte ha några B_n-termer för r > a och vi får ekvationer för dem genom att tvinga F vara kontinuerlig i r = a och matcha mot randvillkoret. Men borde det inte vara så att jag lika gärna kan välja b > 0 och c > 0 och säga att

A_n = 0 om r < b, B_n = 0 om r > c

för det som spelar roll är väl att i en omgivning av r = 0 finns inga A_n-termer, och utanför någon omgivning av r = 0 finns inga B_n-termer?

Kort sagt: hur vet man att det inte finns något område där både A_n och B_n är nollskilda? Hur vet man att "bytet" mellan dem sker precis då r = a, om randvillkoret är specificerat på r = a?

Det kanske följer om man vet att r^n är en fullständig mängd funktioner på varje ändligt intervall [0, a] och r^-n är en fullständig mängd på [a, oo)? Det känns som att jag måste gå en kurs i PDE...

Jag menade x--> 0

Hur blir det då?

Ja, man kan t.ex. välja e = |c|/2.

Med bytet t = 3x så hamnar vi på 3*(e^t - 1)/t och gränsvärdet (e^t - 1)/t är ett standardgränse som har värdet 1. Kan bevisas och görs i alla grundläggande böcker i analys.

Finns det något samband mellan a^x + a^y ?