*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Har blivit pinsamt dålig på vanlig analys…

Om E(n, ϵ) = {x : |f_n(x) - f(x)| ≥ ϵ}

vad jag kan sätta för olikhet för

|f_n - f|/(1 + |f_n - f|) ≥ ?

om man endast tar hänsyn till x i E(n, ϵ)?

På samma sätt, om x är i (E(n, ϵ))^c, vad gäller för

|f_n - f|/(1 + |f_n - f|) ≤ ?

Hur menar du med hjälpekvationer? Jag får 4d^2f/dudv=4. Rätt?

Edit:
d/dx = df/du + df/dv
d/dy = df/du - df/dv

d²f/dx² = d/dx(df/dx) = d/dx(df/du + df/dv) => d/du(df/du + df/dv) + d/dv(df/du + df/dv) = d²f/dx² + 2d²f/dudv + d²f/dv²

d²f/dy² = d/dy(df/dy) = d/dy(df/du - df/dv) => d/du(df/du - df/dv) - d/dv(df/du - df/dv) = d²f/dy² - 2d²f/dudv + d²f/dv²

=> d²f/dy² - d²f/dy² = 4d²f/dudv = 4

Man kan inte säga så mycket med det lilla du angett.

|f_n - f|/(1 + |f_n - f|) ≥ ϵ/(1 + |f_n - f|) ≥ ϵ om x är i E(n, ϵ).
(E(n, ϵ))^c låter allmänt inte så väldefinierat

Vad dum jag känner mig nu… Komplementet var lite dåligt formulerat, det jag menar är alltså

F = {x : |f_n(x) - f(x) < ϵ}

|f_n - f|/(1 + |f_n - f|) < ϵ/(1 + |f_n - f|) < ϵ

Tack för svaret.

Sammanfattningsvis, det jag försöker visa är följande:

Anta att μ(X) < ∞. Vi har en metrik p över rummet av alla mätbara funktioner

p(f,g) = ∫|f-g|/(1+|f-g|)

Då gäller det att f_n → f i p om f_n → f i mått.

Så vi antar att μ(E(n, ϵ)) → 0 för alla ϵ > 0

Det gäller att |f_n - f|/(1+|f_n - f|) ≤ 1, därav

μ(E(n, ϵ)) ≥ ∫_{E(n, ϵ)}|f_n - f|/(1+|f_n - f|)

För F(n, ϵ) = {x : |f_n - f|*< ϵ} gäller det

∫_{F(n, ϵ)}|f_n - f|/(1+|f_n - f|) < ∫_{F(n, ϵ)}ϵ = ϵμ(F(n, ϵ)) < ∞

Slutligen har vi

∫|f_n - f|/(1+|f_n - f|) = ∫_{E(n, ϵ)}|f_n - f|/(1+|f_n - f|) + ∫_{F(n, ϵ)}|f_n - f|/(1+|f_n - f|) < μ(E(n, ϵ)) + ϵμ(F(n, ϵ)) → 0

tusen tack för hjälpen so far. Måste ändå få bumpa denna. Vilka lagar bryter jag emot här?

ϵ/(1 + |f_n - f|) ≥ ϵ stämmer såklart inte, tokslarvigt av mig



Ja dessa olikheter stämmer!

Jag skulle nog säga ∫_{F(n, ϵ)}ϵ = ϵμ(F(n, ϵ)) <ϵμ(X) för att vara övertydlig

Hallå!
Jag klurar på ett problem som ser ut så här: Bestäm belopp och argument för det komplexa talet
-((4-4i)(sqrt(24)-i*sqrt(8)))/i Svara med ett argument mellan 0 och 2pi och i formen api/b där a/b är ett förkortat bråktal. Jag kommer fram till att arg(z)=arg(-1)+arg(4-4i)+arg(sqrt(24)-i*sqrt(8))-arg(i) men hur får jag ut |z|?

Om z = u*v/w så är |z| = |u*v/w| = |u|*|v|/|w|, dvs ta beloppen för de enskilda komponentera och multiplicera och dividera.

Tack! Det fungerade.

Yes, jag var mest för lat för att skriva det Jag tar en till om du inte har något emot det:

If f_n ≥ 0 and f_n → f in measure, then ∫f ≤ lim inf ∫f_n

Eftersom f_n → f i mått så finns det en delföljd {f_n_j} som konvergerar till f a.e.

Av Fatou's lemma följder det att att

∫f ≤ lim inf ∫f_n_j

Men sen? Jag skulle helst just vilja sätta lim inf ∫f_n_j ≤ lim inf ∫f_n men jag har ingenting.