*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

behöver hjälp med att faktorisera polynomet p(x)=x^3 - 2x -4
ni får gärna förklara hur man går tillväga för att faktorisera polynomet i fråga

Generellt sett är det svårt för polynom av grad 3 eller högre, men i det här fallet kan man enkelt hitta en rot, nämligen x = 2: p(2) = 2^3 - 2*2 - 4 = 0.

Därmed kan man bryta ut x-2. Detta gör man t.ex. genom liggande stolen, eller skrivet linjärt:
p(x) = x^3 - 2x - 4 = (x^2(x-2) + 2x^2) - 2x - 4 = x^2(x-2) + (2x^2 - 2x - 4)
= x^2(x-2) + 2(x^2 - x - 2) = x^2(x-2) + 2((x(x-2)+2x) - x - 2)
= x^2(x-2) + 2x(x-2) + 2(2x - x - 2) = x^2(x-2) + 2x(x-2) + 2(x-2)
= (x^2 + 2x + 2)(x-2)

Nu fortsätter vi genom att faktorisera x^2 + 2x + 2:
x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1

Om vi arbetar bland de reella talen kan vi se att detta uttryck alltid är minst 1 och alltså aldrig kan vara 0. Det saknar därför reella rötter och kan därmed inte faktoriseras. Då blir faktoriseringen av p(x):
p(x) = (x-2)(x^2+2x+2)

Om vi i stället arbetar bland de komplexa talen kan vi skriva
(x+1)^2 + 1 = (x+1)^2 - i^2 = { konjugatregeln } = ((x+1)+i)((x+1)-i)
varför faktoriseringen av p(x) blir
p(x) = (x-2)(x+(1+i))(x+(1-i))

Hitta en lösning till p(x)=0 (inspektion bör räcka) och dividera p(x) med (x-a) där a är lösningen. Kvar får du ett polynom av grad 2, där du enkelt kan lösa rötterna och skriva p(x) på formen (x-a)(x-x1)(x-x2) där x1 och x2 är lösningar till andragradaren.

En lösning till polynomet:

Håller på att repetera lite och förstår inte hur jag ska förenkla följande uttryck:

a)

1 + x/y
_______
1+ y/x


b)

1 - x^2/y^2
___________
y^2/x^2 - 1

Hur ska man gå tillväga?

Sen har jag funderat en del på hur man kan "räkna ut / förklara" vad sin 30, cos 30 och tan 30 är utan miniräknare. Resp, sin 60 cos 60 och tan 60.

Tack på förhand!

På a);
bryt ut y/x från nämnaren;

(1 + x/y)/((y/x)(x/y + 1)) Eftersom 1/(y/x) = (y/x)^-1 så är 1/(y/x) = x/y

Vi multiplicerar istället nämnaren med x/y;

(x/y)*(1 + x/y)/((x/y)+1), Vi har nu 2 identiska termer, 1+x/y och förkortar detta. Kvar blir då x/y.

b)
Samma sak, bryt nu ut y^2/x^2 ur nämaren, multiplicera med inversen och förkorta. Svaret blir då x^2/y^2.


Rita upp enhetscirkeln och rätt radien som 1 så kan du klura lite på det där. Om jag ger dig att cos(30°) = 0,5 så kan du få ut alla de tal du skrivit.

Förläng med xy:
(1+x/y)/(1+y/x) = (xy+x^2)/(xy+y^2)

Bryt ut x i täljaren och y i nämnaren:
(xy+x^2)/(xy+y^2) = (x(y+x))/(y(x+y))

Förkorta bort x+y:
(x(y+x))/(y(x+y)) = x/y



Förläng nu i stället med x^2 y^2.

Visa att det finns en entydig lösning för alla värden på konstantera a,b,c,d.

(2 1 a|b)
(1 a-1|c)
(1 1 a|d)

?

Vad blir determinanten av
(2 1 a)
(1 a-1)
(1 1 a)
?

2a^2+1=0

Komplext?

Välj ett reellt tal a, vilket du vill. Kan du då någonsin komma i likhet med noll? Kan determinanten då någonsin anta värdet noll?

Vad innebär det?

Sorry för oklarheterna.. "Red-nuht" besvarade min fråga via en annan fråga vilket blev:

cos^(2i) (i*pi/4) = (cos(i*pi/4))^2i

sum (cos(i*pi/4))^2i från 1 till 3 =

=(cos(pi/4))^2+(cos(pi/2))^4+(cos(3pi/4))^6=

=(1/sqrt(2))^2+(0)^4+(-1/sqrt(2))^6=

=1/2+1/8=4/8+1/8=5/8