Citat:
Ursprungligen postat av MissieJay
Funktionen M(t)=170e^−t/199 beskriver mängden av en radioaktiv isotop som funktion av tiden t (år). Efter hur lång tid har mängden sjunkit till 1/10 av den ursprungliga? Svaret kan skrivas som t=alnb där a och b är heltal och a=1
Det är tvärstopp, jag fick lite hjälp ett par sidor tillbaka, men förstod tyvärr inte så mycket. Hoppas någon kan förklara igen och/eller lite mer. Talet jag arbetar med nu är inte samma siffror som detta, men jag vill ju inte bara ha svaret utan hjälp hur jag räknar ut talet så att jag lär mig.
Först vill vi ha read på vad den ursprungliga mängden är. Ur funktionen
[;M(t)=170\cdot e^{-t/199};]
kan vi läsa att den ursprungliga mängden är 170. Hur? Jo, om vi stoppar in t=0 i funktionen får vi
[;M(0)=170\cdot e^{-0/199}=170\cdot e^{0}=170.;]
En tiondel av den ursprungliga mängden är då 17. Vi stoppar in denna mängd i funktionen och löser ut tiden t:
[;\begin{align*}
&17=170\cdot e^{-t/199} \\
&\Rightarrow 0.1=e^{-t/199} \\
&\Rightarrow\ln(0.1)=\ln(e^{-t/199}) \\
&\Rightarrow\ln(0.1)=-\frac{t}{199} \\
&\Rightarrow t=-199\ln(0.1),
\end{align*}
;]
där jag använde relationen [;\ln(e^{x})=x;].
Tillägg: jag ser nu att du ville ha a och b som heltal samt a=1. I så fall,
[;\ln(0.1)=\ln(1/10)=\ln1-\ln10=-\ln10,;]
Nu blir lösningen
[;t=199\ln(10)\Rightarrow t=\ln(10^{199}),;]
där jag använde relationen [;x\ln(y)=\ln(y^{x});].
