Ma D - integraler

Jag fattar inte riktigt varför man tar "den övre funktionen" - "den undre funktionen" när man med hjälp av integration ska bestämma arean mellan två kurvor. Någon som kan förklara?

Låt f vara den nedre funktionen och g den övre, dvs f < g.

Låt A vara arean mellan x-axeln och f, B arean mellan x-axeln och g, och C arean mellan f och g.

Då gäller B = A + C, dvs C = B - A.

Nu gäller dock att B = ∫ g(x) dx och A = ∫ f(x) dx, varför C = ∫ g(x) dx - ∫ f(x) dx = ∫ (g(x) - f(x)) dx.

Integration är det enklaste sättet att på algebraisk väg räkna ut areor under funktioner. Tror att inlägget över mig skrev lite väl komplicerat för att det ska vara enkelt att förstå.
Först integrerar du den övre funktionen, mellan X=A och X=B till exempel. Sen integrerar du den undre, du ser ju vilken som är över och under på uppgiften, eller hur

Efter båda är integrerade tar du den övre minus den undre. Vad har du fått då? Jo, men du har ju fått den gemensamma arean mellan graferna!

Lycka till, du kan pm om du behöver mer hjälp!

Hej!

Följande sida på matteboken.se förklarar hur man räknar ut areor mellan kurvor: http://www.matteboken.se/?valdSida=m...aldMatteKurs=D

Se också följande videoklipp: http://www.youtube.com/watch?v=iQjN5...layer_embedded

Hoppas detta hjälpte!

/Tomas

Tack!
Tack!
Tack! Men det var inte riktigt det jag undrade över.

En fråga till: jag har ännu inte riktigt fattat varför man integrerar genom att finna den primitiva funktionen F till en funktion f och sedan subtrahera F(den övre ingegrationsgränsen) med F(den undre). Någon som kan förklara detta enkelt?

Det är en följd av analysens huvudsats, vill du ha ett bevis för denna?

Undrar bara varför man tar F(övre integrationsgränsen) - F(undre integrationsgränsen).

Det är ett liknande resonemang som i din förra fråga.

Låt A(a, b) beteckna arean under f från x = a till x = b, och låt x0 vara en punkt på x-axeln.
Då gäller A(a, b) = A(x0, b) - A(x0, a).

Nu kan man visa att (d/dx) A(x0, x) = f(x), dvs för fixt x0 är A(x0, x) en primitiv funktion till f.
Om vi fixerar x0 och skriver F(x) = A(x0, x), så får vi alltså A(a, b) = F(b) - F(a).

Eftersom A(a, b) även är integralen av f från a till b, så följer det du undrade över.