Sannolikhetsteori 2, uppgift!

Hej

Undrar om någon kan ge mig en fullständig lösning till detta problem (skulle bli jävligt glad). Jag har lösningen men förstår inte, pga att läraren har hoppat över de flesta stegen.
Tack på förhand

Let X be the number of coin tosses until heads is obtained. Suppose that
the probability of heads is unknown in the sense that we consider it to be
a random variable Y € U(0, 1).
(a) Find the distribution of X
(b) The expected value of an Fs-distributed random variable exists, as is
well known. What about E X?
(c) Suppose that the value X = n has been observed. Find the posterior
distribution of Y , that is, the distribution of Y | X = n.

Posta de delar av lösningen du inte förstår.

Det är svårt för mig att skriva alla tecken och ekvationerna, och jag förstår knappt vad jag har skrivit, så det skulle inte vara mycket hjälp alls.

Om det är jobbigt för dig med så är det lugnt, ska försöka hitta någon i klassen.

a)
Sannolikhet att X=1 är givetvis Y.
Sannolikhet att X=2 är Y*(1-Y) - dvs. sannolikheten att vi först kastar "tails" och sedan "heads".
Sannolikhet att X=3 är Y*(1-Y)^2 - dvs. sannolikheten att vi först kastar "tails" 2 gånger och sedan "heads".
osv.

med andra ord har vi

f_x(k) = Y*(1-Y)^(k-1) k>=1


b)
Enligt definitionen av väntevärde har vi:

E{X} = \sum_{k=1}^{\inf} k*f_x(k)

dvs.

E{X} = \sum_{k=1}^{\inf} k*Y*(1-Y)^(k-1) =>
E{X} = Y*(1-Y)^{-1} \sum_{k=1}^{\inf} k*(1-Y)^k

lös på valfritt sätt (manuellt, slå upp i tabell, Mathematica etc.) och få

E{x} = 1/Y

Tack så mycket !

Fast nu var ju Y en slumpvariabel, så det där är inte svar på frågan.