Analys: Komplexa tal...!

Hej.
Vi har börjat med analys just precis och håller på med komplexa tal. Och nu har jag fastnat på diverse saker.


1. Hur vet man var vinkeln för en vinkel i det komplexa talplanet? T ex , hur räknar man fram var vinklar som 11π/3 och 11π/4 är? Vi var hos någon mattebesserwisser: "det är ju självklart var dom är!". Och så visade han var de var men inte vilken metod och tankegång han hade.
Och hur ska man tänka för att hitta cos och sin värdena för dem?
Någon som vet hur man kan göra?



2. Hur får detta till a + ib och polär form ? (1 + i)^11 Att gångra allt 11 gånger är inte metoden sa någon.
Jag provade lite och kom fram till dethär:
sqrt(2)^11( (cos(11π/4) + isin(11π/4) ) Men det kanske är tokigt. Om det är rätt så vet jag ändå inte hur man gör sen.
Vad är t ex sqrt(2)^11 ? Kan man förkorta något t ex?

3. Hur löser man z^4=1 ? Finns det ingen metod? Eller vad kan man tänka steg för steg?

Nu har jag förträngt allt annat, men om jag minns rätt så blir z=a+jb på polär form;

z=re^jv

r=sqrt(a^2+b^2)
v=arctan(b/a)

Som du säkert redan vet delas xy-planet in i fyra kvadranter (och så även det komplexa talplanet), och enhetscirkeln (fyra olika delar). På grund av symmetri räcker det om vi har referensvinklar i den första kvadranten och vilket tecken som gäller i respektive kvadrant, 0 ≤ v ≤ π/2. Standardvinklarna som man bör känna till är 0, π/6, π/4, π/3, π/2 och här har du en tabell över dessa. En god minnesregel för dessa är:

sin: √(0)/2, √(1)/2, √(2)/2, √(3)/2, √(4)/2
cos: √(4)/2, √(3)/2, √(2)/2, √(1)/2, √(0)/2

Till vinklarna 0, π/6, π/4, π/3 och π/2 i tur och ordning. Nu när vi känner till dessa referensvinklar behöver hädanefter bara veta vilken kvadrant vi befinner oss i för att beräkna ut värdet av en korresponderande vinkel.

Exempelvis, 11π/3 = 2π + π + 2π/3 vilket innebär att vi befinner oss i den fjärde kvadranten, där cosv ≥ 0 och sinv ≤ 0. Då gäller cos(11π/3) = 1/2 och sin(11π/3) = -√(3)/2.

1. Det beror på hur det komplexa talet ser ut. Ofta får man använda arcustangens för att beräkna en vinkel. Hjälptrianglar och enhetscirkeln kan vara bra också. Ibland räcker det helt enkelt att svara med ett värde uttryckt i arcustagens, tänk då på att man måste hålla reda på i vilken kvadrant man är i.

2. (1 + i)^11. Det kan man använda sina kunskaper om poläritet i det komplexa talplanet. Ett komplext tal multiplicerat med ett annat komplext tal så adderar man argumenten.

Vi vet att:

Arg (1+i) = π/4
Arg (1+i)¹¹ = 11*Arg (1+i) = 11*π/4

Man multiplicerar också beloppen:
Beloppet för 1+i ser vi att det är roten ur två, annars kan du bara räkna ut det enligt definitionen av absolutbeloppet av ett komplext tal. Då har vi alltså (√2)¹¹ som belopp.

(1+i)¹¹ = ((√2)¹¹)(cos(π/4)+i*sin(π/4))

Om han godkänner polär form som ett godtyckligt svar, du får också förenkla beloppet, det är rätt lätt. Annars kan du lätt resonera dig fram på enhetscirkeln vilket argument komplexa talet skall ha. Det är bra att snurra dig runt elva stycken π/4, alltså elva stycken 45 gradare. Med hjälp av polär form så slipper man massa onödig aritmetik, att resonera sig fram till komplexa tal är ofta mycket mer värdefullt än numeriska beräkningar bara för att envist svara i rektangulär form (a+bi).

3. Skriv om på polär form, jag kan se direkt vad svaret skall vara, men det finns en allmän metod för

z^n = (a+bi).

Kan du någonting om de moivres formel? Annars är just denna uppgiften ganska lätt, skall lösa den utan onödigt krångel, tex med kvadratrotsfunktionen.

Det komplexa talet:

z⁴ = 1
z² = ±√1 = ±1

Då vet vi:

z² = ±1
z = √±1 = ±√±1

Det blir då fyra grenar. Först väljer man tex + roten ur +1. Sedan + roten ur -1, sedan - roten ur -1, sedan - roten ur +1.

Hur tolkar man då detta?

z₁ = 1
z₂ = -1
z₃ = -i
z₄ = i

Det är egentligen en missbrukning av likhetstecknet att skriva v = arctan(b/a) eftersom arctan(-b/-a) = arctan(b/a), men som man snabbt inser så är inte inte argumentet det samma för -a-bi som a+bi. Tänk på det bara, annars är det rätt ja.

Du kan även uttrycka polär form som du ser i min signatur.

Dessutom, vad händer när a = 0? Denna "förenkling" stjälper mer än vad den hjälper om man inte vet vad man håller på med, tyvärr.

Japp precis. Den är icke definierad för rent imaginära tal, vilket inses ganska snabbt om man är duktigt insatt i hur tangens är definierat och hur cosinus beskriver det rent reella talet i polär form.

Förresten, angående z⁴ = 1 kan även även göra såhär:

z⁴ - 1 = 0 ⇔ (z² + 1)(z² - 1) = 0

Nu är det uppenbart att z = ±1, ±i.

Smart, men å andra sidan tycker jag det var uppenbart redan direkt när jag såg uppgiften. :]