Separabel diff ekvation

Sitter och funderar lite på lösningen av en differential ekvation (separabel) här.
Så här är det:

Ekvation:
dP/dt = P - P^2
==> dP(t)/dt = P(t) - P(t)^2

Så jag skriver om ekvationen till:

dP(t) / (P(t) - P(t)^2) = dt
==> dP(t) / (P(t)(1 - P(t)) = dt

Nu är jag inte så bra med variabelfuffens, men som jag förstår går det inte att dela dP(t) med P(t), så vi måste göra partialbråksuppdelning här (vi har ju faktoriserat nämnaren). Dock blir detta lite konstigt också då jag inte riktigt kan bestämma konstanterna A och B. Det var ett tag sedan jag gjorde PBU dock, så jag kan ha gjort fel.

Är detta riktigt hittills? Finns det något annat sätt att göra det på?
Är variabelfuffens rätt?

Uppskattar svar.

Det ser korrekt ut.

Partialbråksuppdelningen är 1/(x(1-x)) = 1/x + 1/(1-x).

Hmmm. Angående PBU:

Vi har
dP(t) / (P(t)(1 - P(t)) = dt

Så, vi bör kunna dela upp det enligt

A / P(t) + B / (1 - P(t)) = dt

Men nu måste jag bestämma konstanterna A & B.

Om jag multiplicerar alla led med MGM, får jag:

A(1 - P(t)) + B(P(t)) = (1 - P(t))(P(t))dt
==> A(1 - P(t)) + B(P(t)) = P(t) - (P(t)^2)dt
==> A - AP(t) + BP(t) = P(t) - (P(t)^2)dt
==> A + (-A + B)P(t) = P(t) - (P(t)^2)dt
==> A = 0, -A + B = 1
==> A = 0, B = 1

Men detta blir ju

0 / P(t) + 1 / (1 - P(t)) = dt

...vilket inte tycks stämma. Eller gör det? Det stämmer definitivt inte med vad du säger.
Vore bra med en repetition av PBU. Vad gör jag fel?

Tack för svaret!

Detta steg är fel.

Ah, naturligtvis ska det vara -A + B som koefficienter framför P(t). Det har jag ändrat. Men A är fortfarande = 0. Stämmer detta?

Nej, A skall inte vara 0.

Utför partialbråksuppdelningen fristående; blanda inte in dt:
1/(x(1-x)) = { ansats } = A/x + B/(1-x) = { slå ihop termerna }
= (A(1-x) + Bx)/(x(1-x)) = (A + (B-A)x)/(x(1-x))

Här ser vi att vi skall ha A = 1 och B-A = 0. Alltså A = B = 1.

Blä. Var tvungen att repetera PBU.
Men jag får det fortfarande inte rätt:

dP(t) / (P(t)(1 - P(t)) = dt
==> A / P(t) + B / (1 - P(t))
==> [(1 - P(t))A + B(P(t))] / (P(t)(1 - P(t))
==> (A - AP(t) + BP(t)) / (P(t)(1 - P(t))
==> (A + (-A + B)P(t)) / (P(t)(1 - P(t)) = dP(t) / (P(t)(1 - P(t))

Koefficienterna framför P(t) ska vara lika med koefficienterna framför P(t) i orginalbråket, men det finns ju inte! Alternativt måste -A + B = d. Men that makes no sense, antar jag.
Och det finns ingen konstant i orginalbråket, så A = 0.
Jag får fram samma sak som dig, förutom att x = P(t), och i orginalekvation är det dx.

Blanda inte differentialekvationen och partialbråksuppdelningen.

Du skall beräkna ∫ 1/(P(1-P)) dP. Ta inte med dP när du försöker partialbråksuppdela. Betrakta endast 1/(P(1-P)).

Aha!
Okej. Tack

Jag får försöka lista ut mer om mysteriet av dx på annat håll senare.

Okej, det är fortfarande lite grand som jag inte förstår här.
Om vi fortsätter från förgående exempel så har vi:


==> (A + (-A + B)P(t)) / (P(t)(1 - P(t)) = [1 / (P(t)(1 - P(t))]dP(t)
==> [1 / P(t) + 1 / (1 - P(t))]dP(t) = dt
==> Integrera båda leden: int(1 / P(t), dP(t)) + int[1 / (1 - P(t)), dP(t)] = int(1, dt)
==> ln(P(t)) - ln(1 - P(t)) = t + C
==> ln( P(t) / (1 - P(t)) ) = t + C
==> P(t) / (1 - P(t)) = e^(t + C)
==> P(t) / (1 - P(t)) = Ce^t

Så vad har gjort för fel den här gången?

Tacksam för svar!

Detta är rätt!! du måste fortsätta ett tag till.

Fullständig lösning:
dP/dt = P(1-P)

==> dP/(P(1-P)) = dt. (ekv. )

PBU ger med handpåläggningsmetod:

1/(P(1-P)) = 1/P + 1/(1-P)

integrera båda sidor av ( ekv. ) och du får så småningom:
ln|P| - ln|1-P| = t+c

vilket med algebra blir ln|P/(1-P)| = t+c ==> P/(P-1) = e^(t+C1) = C2 * e^t.
gångra båda led med (1-P):
P = C2*e^t - PC2* e^t
P + PC2* e^t = C2*e^t
P(1 + PC2* e^t ) = C2* e^t
===> P = C2* e^t /(1 + PC2* e^t ). Vilket är den sökta lösningen. Konstanten C2 är = e^C1.

Du är säker på att du inte har gjort fel på andra steget där?

P + PC2* e^t = C2*e^t
==> P(1 + C2*e^t ) = C2* e^t

Eftersom båda termerna innehåller P(t) och vi bryter ut den.
Variabelfuffens är att separera på dP(t) och dt. Eftersom derivatan P'(t) egentligen är dP(t)/dt så multiplicerar jag över dt på andra sidan.