Linjär algebra - vektorer hjälp

Tjena. Har fått en uppgift som jag överhuvudtaget inte förstår.
Punkterna A = (6,4,8) och B = (8,7,7) är givna. Ange kooordinaterna av punkterna M, P och Q som delar sträckan AB i två delar med längder vars förhållande ges av:
|AM|/|MB| = 1
|AP|/|PB| = 1/4
|AQ|/|QB| = 3/2

Förstår det som om det är en linje mellan A och B. Jag tror att man kan göra såhär A + B = (6+8)+(4+7)+(8+7). Missade tyvärr lektionen när han gick genom detta...

TACK!

Du kan parametrisera linjen genom A och B så här: P(t) = (1-t) A + t B.
För t = 0 får du A, och för t = 1 får du B.
Eftersom parametriseringens "hastighet" dP(t)/dt är konstant, kommer avstånd att vara direkt proportionella mot differenser i t.

Lösning av |AM|/|MB| = 1:
Det är uppenbart att M ges av t = 1/2, så
M = P(1/2) = (1-1/2) A + (1/2) B = (1/2) (A + B) = (1/2) ((6,4,8) + (8,7,7))
= (1/2) (14, 11, 15) = (7, 11/2, 15/2).

Vilka t ger M i de andra två deluppgifterna?

schysst svar men kan de göra en förenkling av vad du menar.

Vilken del är det du inte förstår?

Parametrisera, linjens hastiget osv. Sen tror jag inte det är nödvändigt att använda sig av en funktion och derivata. Förresten, kan du använda dessa värden på A = (4,3,4) B = (9,8,9) ?

Har du lärt dig skriva linjer och plan på parameterform än? Man behöver för övrigt inte kunna parameterform för att lösa uppgiften.

Betrakta sträckan AB. Någonstans på sträckan AB finns det tre punkter som vi kallar M, P och Q. Enligt fakta du har givit ovan har vi information om hur stor del av streckan AB som M, P och Q delar upp AB i.

Vi vill då veta exakt vilken koordinat punkten M, P och Q har. Jag kan börja med exemplet för M.

För punkten M:

|AM|/|MB| = 1/1 = n:m = n/m (förhållandet n:m)

Den delar alltså sträckan i mitten, eftersom avståndet mellan de är lika stora, sträckan AM har då alltså en del, av två lika stora delar på sträckan AB, där MB har den andra halvan.

Vektoraddition:

(n/(n+m))(6,4,8)+(m/(n+m))(8,7,7) = (1/(1+1))(6,4,8)+(1/(1+1))(8,7,7) = OM

Vi söker ju alltså vektorn OM, alltså från origo till punkten M, då får vi ju också automatiskt ut punkten M eftersom den är lika med vektorn OM. Nu har jag alltså adderat halva vektorn OA och halva vektorn OB med varandra, då hamnar vi exakt i mitten på sträckan AB.

Pröva väldigt gärna detta grafiskt i två dimensioner, tex i på pappret med ett vanligt (x,y) koordinatsystem.

Du gör exakt samma sak på de andra två uppgifterna, tänk på att sträckan delas in i delen av det hela. Vill du ha hjälp med även de uppgifterna så står jag gärna till tjänst om ingen annan löser de före såklart.

Mvh BengtZz

Riktigt bra svar Bengtzz. Löste det nu! tack så hjärtligt! Jag vet inte vad parameterform är men vi skriver vektorer som siffror på stapel med en parantes runt.

Ingen fara! Nöjet är helt på min sida. Du kommer nog lära dig parameterform tids nog, beroende på hur stor din kurs är.

Parameterform är extremt användbart, speciellt när man arbetar i tre dimensioner.

Ja vektorer bör skrivas stående för att inte missta det med punkter, men nu på forumet blir det jobbigt tyvärr.

Lycka till med resten av kursen!