Integral med dg(t) istället för dt

Lite osäker på att detta verkligen är en naturvetenskaplig uppgift så lägger den här.

Hej

Hur tolkar man en integral som ej integrerar med avseende på tiden (dt) utan istället på vilken funktion som helst dg(t). I Riemann-integralen så är g(t)=t och tolkningen är en summa av oändligt små "staplar" med längden dt. Har försökt förstå hur man kan tolka dg(t) men det har liksom inte "klickat" än...

Om man har t.ex. g(t)=t^2 så får man ju dg(t)=2t*dt och integralen rinner ut i en vanlig Riemann-integral.

Det händer grejer om g'(t) inte är tillräckligt snäll, se Riemann–Stieltjes integralen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Stieltjes_integral

Jo jag har läst om den. g'(t) måste väl vara kontinuerlig. Men kan man ge en tolkning i stil med Riemann-integralen? Eller är den bara definierad och inte lika lätt att "förstå"?

Det är väl ganska sällan man integrerar med avseende på annat än någon viss variabel. Då du tar dg(t) får du se det som att g(t) är en egen enhetlig symbol och dg(t) är en liten del av den.

Exempel med derivator, antag att k ej beror på t eller g(t), g(t) godtycklig funktion av t:
d/dg(t) g(t)*k = k.
d/dt g(t)*k = g'(t)*k.

Exempel med integraler:
int(g(t) dg(t)) = g(t)^2 * 1/2 + C.
int(g(t) dt) = G(t); där G(t) är den primitiva funktionen till g(t).

Någon får rätta mig om jag har fel.

Ah! Så borde såklart vara. Jag har hela tiden tänkt d/dt g(t) vilket det inte är. Det är därför summan av skillnader uppkommer i Riemann-Stiltjes integralen! Kan någon bekräfta detta? Tack!

Om dg/dt är kontinuerlig så har man dg = dg/dt dt, fast anledningen till att man använder Stieltjesintegralen är (i alla fall de få gånger jag har gjort det) att man vill integrera över en funktion som är både diskret och kontinuerlig. T.ex. om g är en trappfunktion, med derivata som man skulle kunna tolka som en samling delta-distributioner, så kan man använda Stieltjesintegralen. I kvantmekanik har man ofta integraler över ett spektrum som är både diskret och kontinuerligt.

d/dt g(t) ≠ dg(t). Vänsterledet = g'(t). Högerledet = g'(t)dt - som apanlapan nämner angående kontinuerliga funktioner. Vad det har för konsekvens för 'Riemann-Stiltjes'-integralen om man råkar misstolka dg som g' kan jag inte svara på då jag inte studerat den integralen.

Man kan nog tolka det som så att man räknar som att stapeln, om den går från a till b i t-led så att säga, har bredd g(b) - g(a), istället för b - a som i Riemannintegralen.

Det vill säga, "Riemann-Stieltjes-summor" är på formen

Σ_i f(t_i)(g(a_{i+1})-g(a_i))

där man alltså har delat upp ens integrationsintervall som a_1 < ... < a_n+1, och valt punkter t_i i delintervall [a_i, a_{i+1)].

Lättare (kanske?) är att tänka sig Lebesgue-Stieljtes-integralen, där man istället bara ser det som att man ändrar det underliggande måttet på reella linjen till det mått µ som definieras av

µ([a, b]) = g(b) - g(a)

och sedan integrerar som vanligt. Det är alltså nåt slags "viktad integration", där vikten i punkt t ges av g'(t) (sedd som en distribution).

Insåg detta efter jag skrivit inlägget.

Tack för er hjälp, nu har det i alla fall klarnat lite