Grupper

Ah okey. Huruvida det verkligen existerar delgrupper med ordningen 1,2,3,4,6 eller 12 är överskurs tror jag. Finns det ens allmän metodik för att kontrollera detta för större grupper?
Tack för svaren i alla fall! Intressant ämne indeed.

Jo, så kan det förstås vara. Men då kan man lika gärna säga att svaret är Z, ty ordningar av delgrupper kan omöjligt vara icke-heltal. Som sagt, lite konstigt formulerad. Om det inte framgår väldigt tydligt av kontexten att det är Lagranges sats man ska använda (men det verkar det ju inte ha gjort, för då hade väl Herze fattat det själv att det är just Lagranges sats som gäller?)


I det här fallet är gruppen så liten kan man nog bara vara ganska explicit och skriva ner delgrupper av ordningarna 1,2,3,4 och 12. Att inga delgrupper av ordning 6 existerar kan man visa genom att tex visa att det inte finns en kopia av C_6 och S_3 (dessa är de enda två grupperna av ordning 6). C_6 existerar inte som en delgrupp eftersom A_4 inte har några element av ordning 6; S_3 existerar inte som en delgrupp eftersom S_3 har 3 element av ordning 2, som om de multipliceras ihop ger ett element av ordning 3, vilket inte A_4 har. Till exempel. Finns säkert andra sätt att göra det på.

För större grupper är det förstås svårare, men det finns många starka resultat i teorin som går att använda, och om man trixar runt med dem brukar vi klara av att hitta delgruppsstrukturen för väldigt stora grupper.

Jo, det blir litet knasigt när man tar ett konkret fall och söker ett allmänt svar. Då är det inte så klart hur allmänt svaret skall vara.

x^-1 = x stämmer alltid?
f(x) = x
g(f(x)) = [enligt hur funktionen är definierad dvs. inversen] = x = [enligt raden ovan] = g(x)
Dvs inversen av x = x.

I ditt svar var det inte klart vad du menade med inversen. Jag utgår ifrån att du inte menade det man brukar mena dvs 1/x (isf: definiera division och behandla specialfallet nollan)?

Med notationen ovan har vi x*y = g(x)*g(y) = g(x*y) =

Ännu en fråga, hur ser du att g(x)*g(y) = g(y*x) ?


Jag tänker att eftersom detta är en skoluppgift så är detta saker jag hade räknat med att bli tillfrågad om jag presenterade din lösning.

Vidare, finns ingen anledning att tala till mig som om du vore en arg tonåring (förutsatt att det inte är vad du är, något jag i stort sett utesluter om man talar om verklig ålder)

Inte alltid, men när x² = e så gäller det:
x^(-1) = e x^(-1) = x² x^(-1) = (x x) x^(-1) = x (x x^(-1)) = x e = x.


Vet du vad en grupp är?
http://sv.wikipedia.org/wiki/Grupp_(matematik)


Formeln x^(-1) y^(-1) = (y x)^(-1) gäller alltid för grupper:
x^(-1) y^(-1) = (x^(-1) y^(-1)) (y x) (y x)^(-1)) = x^(-1) (y^(-1) y) x (y x)^(-1)
= x^(-1) e x (y x)^(-1) = x^(-1) x (y x)^(-1) = e (y x)^(-1) = (y x)^(-1).

Jag missuppfattade första uppgiften, läste som 'visa att det är en abelsk grupp' istället för 'visa att gruppen är abelsk'
Stor skillnad, förklarar allt du skrivit, ber om ursäkt.

När jag skrev x^(-1) så menade jag inversen av x inte 1/x, men spelar ju ingen roll nu.

Vad är skillnaden mellan "visa att det är en abelsk grupp" och "visa att gruppen är abelsk"?

Skillnaden är att i det första fallet måste vi visa att det är en grupp och att den är abelsk, i det andra fallet vet vi att det är en grupp som vi ska visa är abelsk.

När jag tänker på det nu så vet jag inte om första fallet hade varit vettigt överhuvudtaget, jag trodde bara att den var vagt formulerad eller nåt. Men igen, ber om ursäkt för jag slösade din tid


Edit: Trodde alltså att vi snackade om än mängd med operationen multiplikation som uppfyllde x*x = e

Okej, jag förstår...