Grupper

Någon som kan vara en vänlig själ och visa att en grupp där x^2 = e för alla x är abelsk?

Kanske så här?

xy = xey = x(xy)²y = xxyxyy = x²yxy² = eyxe = yx.

Alternativt konstaterar man att x^(-1) = x för alla x i gruppen och använder detta:
x y = x^(-1) y^(-1) = (y x)^(-1) = y x.

låt g(x):= x^-1 och f(x) := e*x

g(f(x)) = x
f(x) = e*x = x =>
g(f(x)) = [identity] = x = g(x)

Alltså, x^-1 = x

(Kom att tänka på det vid specialfallet med mängden S = {0}, med e.g. R+ kan vi ju bara säga 1/x)


Det ovan hade jag velat lägga till ditt svar manne, överreagerar jag, dvs är det i onödan?

Edit: Eller kanske det du menar med konstatera...

Jag förstår inte vad du håller på med... Vad försöker du visa? Varifrån får du g(f(x)) = x? Varför skulle g(f(x)) = g(x) ge att x^(-1) = x? Vad har du druckit ikväll?

Tack för svar! Ställer en följdfråga:
Hitta alla möjliga ordningar av delgrupper till A_4.

Det finns en sats som relaterar ordningen hos en delgrupp till ordningen hos basgruppen.

Ah Lagrange?!
Tack!

Frågan är lite konstigt formulerad, men om man tolkar det som:

Hitta alla heltal n så att det finns en delgrupp av A_4 med ordning n.

så bör du notera att svaret inte är 1,2,3,4,6,12. Det vill säga, omvändningen av Lagranges sats är inte sann i allmänhet.

Woot?!

Alltså, Lagranges sats säger bara att om H är en delgrupp till G, båda ändliga grupper, så gäller att |H| | |G|. Den säger inte att om n | |G| så finns en delgrupp H med ordning n. A_4 är det minsta exemplet därdet här senare påståendet inte gäller.

Så man kan inte bara ta alla delare till 12 och säga att det är svaret, för det kanske inte finns delgrupper av vissa av dessa ordningar. Så du får nog jobba lite mer explicit.

Eftersom det står "möjliga" tolkar jag det som att alla delare skall räknas upp (enligt Lagranges sats). Man skall alltså inte utreda vilka ordningar som verkligen existerar.