Beräkna integralen (Behöver hjälp)

Jag har en integral som oftast betraktas som en standard integral:

∫dr /√(1-kr^2) = arcsin(√(k)*r)

Jag vet inte riktigt hur man kommer fram till resultatet. Att det gäller per definition tror jag inte på eftersom arcsin är inversen till sin.

Du kan ju pröva att derivera arcsin(√k r) och se vad du får. Ett sätt att göra detta är att sätta y = arcsin(√k r), skriva om till sin(y) = √k r, derivera mha kedjeregeln och få y' cos(y) = √k. Detta ger
y' = √k / cos(y) = √k / √(1 - sin²(y)) = √k / √(1 - k r²).
(Hm... Det ser ut som du har missat en faktor √k ovan.)

Tja, det följer ju tex om du kan bevisa att derivatan av högerledet är just integranden.

Sättet man gör det på är följande: Kalla derivatan av arcsin(x) för g(x).

Vi har, per definition av arcsin, formeln

x = sin(arcsin(x))

gäller för alla x (i intervallet [-1, 1]). Alltså är vänsterled och högerled samma funktion, och dessas derivator måste vara lika. Deriverar vi båda sidor (högerledet enligt kedjeregeln) får vi då

1 = g(x)*cos(arcsin(x))

Vi vet att (om vi definierar arcsin så att det alltid hamnar mellan -pi/2 och pi/2) att cos(arcsin(x)) = √(1-x²), så vi får

1 = g(x) * √(1-x²)

det vill säga

g(x) = 1/√(1-x²)

alltså, derivatan av arcsin(x) är 1/√(1-x²). Ur detta följer snabbt sen att derivatan av arcsin(√(k)x) är √(k)/√((1-kx²)

Tusen tack.

∫dr /√(1-kr²)

gör variabelsubsititutionen √(k)r = t
⇒
1/√(k)·∫dt /√(1-t²)= [standardintegral] = 1/√(k)*arcsin(t) = 1/√(k)*arcsin(√(k)r)

Det var detta med standardintegralen som jag ville ha bevis på.

http://www.wolframalpha.com/input/?i...1-k+*r^2)))+dr

Bevis av D(arcsin(x)) på matteboken.se: http://www.matteboken.se/?valdSida=m...aldMatteKurs=D

Lösningen finns här ovan...

Se manne1973 och dbshw

En ny integral som jag behöver hjälp med:

∫ √(1+(1/9)sin(x/30)^2) dx från x=0 till a

Den där ser besvärlig ut. Kan du skanna in hela uppgiften så att vi får se att du inte gjort ett misstag när du skrivit in den här?

Tja det är inte en uppgift ur en bok utan jag vill hitta längden på kurvan: 10*cos(x/30) från 0 till a.


Om jag ska hitta längden på en kurva utgår jag ifrån ds^2 = dx^2 + dy^2. För att hitta längden tänker jag att ds^2= 1 + (dy/dx)^2 dx^2 och sedan integrera ds = (1+ (y')^2)^0,5 dx från 0 till a Då borde jag väll få längden på kurvan?