Hjälp mig förstå funktioner, X och Y samt symbolen (f)x

Fler klåpare. Hej hopp vad ni kan. Ska vara: y'(x) = (ax·e^(bx))' = (ax)'·e^(bx) + ax·(e^(bx))' = ae^(bx) + abx·e^(bx)

Sorry, men jag har faktiskt rätt!


Jag förstår vad du menar och du har inte helt fel. Men fortfarande betecknar y i det här fallet (då y = f(x)) inte funktionen utan det värde funktionen har för argumentet x.

Funktionen betecknas med f och funktionens värde då den får argumentet x betecknas med f(x). Vi behöver inte skriva y = f(x) om vi inte vill ha en kortare beteckning för ett visst funktionsvärde eller vill syfta på grafen till f, dvs mängden av punkter (x, y) som uppfyller y = f(x).


Korrekt.


Jag antar att du med y inte syftar på uttrycket "y" (en variabel och därmed ett uttryck), utan egentligen på det uttryck som f definieras genom; man brukar ju skriva f(x) = uttryck i x.

Skilj mellan uttryck och funktion! Det är förvisso sant att ett uttryck kan identifieras med en funktion, men de är inte samma sak. Och då syftar jag inte på att ett uttryck skulle kunna ha flera värden för ett visst värde på den ingående variabeln (ex. uttrycket ±x), utan mer på att ett uttryck är ett syntaktiskt objekt i det matematiska språket medan en funktion är en mängd med vissa egenskaper (se nedan). Dessutom kan inte alla funktioner beskrivas med uttryck (ty mängden av funktioner är överuppräknelig medan mängden av uttryck endast är uppräknelig).


Det var ju just det jag skrev:


Den formella definitionen lyder:
Låt X och Y vara två icke-tomma mängder. Med en funktion f från X till Y (detta skrivs f : X → Y) menas en delmängd av X × Y sådan att det för varje x ∈ X finns exakt ett par (x, y) ∈ f.
I stället för (x, y) ∈ f skriver vi f(x) = y.


Håller med. Men jag tror ändå på att försöka vara så korrekt som möjligt och inte t.ex. påstå att y är funktionen (när den faktiskt inte är det).

Du behöver inte förklara för MIG hur du tänker. Jag fattar. Men det stämmer inte riktigt i detta fall. I detta fall är det y som är funktionen f. I boken ges den andra beteckningar också exempelvis T(x) eller H(x). På MaB brukar man inte skriva y(x). Du anar inte hur detta sätter myror i huvudet på gymnasielever..

Jag förklarar inte hur jag tänker. Jag förklarar vad som är matematiskt korrekt.


Hur exakt ser detta fall ut? Är det samband såsom y = x² + 3x - 10 som skall uppfattas som funktioner? I så fall är det egentligen fortfarande fel att hävda att y är funktionen eller namnet på funktionen.


Då är det väl bara bra om tidigt berättar att funktioner brukar ges ett namn/en beteckning, ofta bara en bokstav (vanligen f eller g, men ibland andra såsom T, H), ibland ett "ord" (exv. sin och exp), eller t.o.m. en ren symbol såsom # ?

Om jag ska vara väldigt snäll kan jag säga att lite av förklaringen till förvirringen är att man i sammanhaget kan säga att "y är en funktion av x", Detta betyder inte att y är en funktion.




Här håller jag faktiskt inte med. Manne1973 (tror jag) nämnde tidigare "svarta-lådan"-modellen för funktioner, och jag tror att den är mycket svårare att förklara om man inte skiljer på själva funktionen (lådan) och funktionens utvärde (det som ploppar ut i andra änden). Just den förvirringen som råder i tråden tycker jag mig se jag hos många studenter i inledande högskolekurser; en del har tom blivit så övertygade i att det är x som är den oberoende variabeln och y den beroende att de blir förvirrade när de ska räkna med nåt typ z = f(x, y). Detta tror jag tyder på lite "monkey see, monkey do"-inlärning, som jag tror åtminstone delvis är ett resultat av att de inte riktigt har lärt sig att tänka på funktionen som ett separat, abstrakt, objekt, utan blandar ihop den med dess utvärde.

En annan grej, är att för en speciell klass stundenter (som redan har väldigt god programmeringsvana, men inte kan särskilt mycket matte), så tror jag att det oftast hjälper att vara så jävla tydlig med hur den matematiska syntaxen är uppbyggd som möjligt, på gränsen till övertydlig, så snappar dom upp allting i ett nafs.

I akademisk mening är du säkert mer bildad än vad jag är. Ingen har påstått att du är obildad.

Mest troligen minst 25 procent, vilket egentligen är irrelevant.

Jag tillför något till tråden, det gör du också. Men ibland tycker jag att du gör det opassande om du skall rätta manne så bör du definitivt veta vad du snackar om. Han är bland de allra kunnigaste inom matematik här.

För den gruppen kan möjligen även vara lämpligt att påpeka skillnader mellan funktioner i matematiken och funktioner i programmeringen. Utvärdet från en funktion i programmering kan bero av andra saker än bara av invärdet; ett exempel är slumpfunktionen rand() som kanske inte ens tar ett invärde men ger olika utvärden varje gång. Så får inte en funktion bete sig i matematiken. Och det finns matematiska funktioner som inte kan implementeras med programkod; de är icke beräkningsbara.

Så hur hade du undervisat funktioner i Ma B? Om du nu inte håller med om att det räcker att säga y är samma sak som f(x), sedan förklara varför f(x) kan vara smidigare och bättre än att bara skriva y, i många fall.

Oj då, glömde en av konstanterna i slutet. Har säkert svarat på 1000-tals frågor inom matematik här på forumet, och många andra här inne ännu fler, och ofta helt rätt - men det är ju lätt att missa någon liten sak någon gång ibland. Att kalla oss klåpare är lite magstarkt.

Detta håller jag med om att man nog ska påpeka. Om dom inte redan är Haskell-är-meningen-med-livet-nördar.


Detta kanske jag skulle nämna i förbifarten som lite kuriösa, men att gå in på det i detalj blir nog lite överkurs.


Nu har jag aldrig undervisat Ma B, och jag kanske är lite för höga förhoppningar om 16/17-åringars förmåga, men jag skulle förklarat funktioner ungefär typ:

En funktion är som en låda där man stoppar in ett tal, och får ut ett annat. Inne i lådan kan det finnas många olika små boxar med +, -, *, /, [ritar upp lite exempel]. Vi betecknar ofta funktioner med bokstaven f.

Vi kan definiera funktioner genom att säga vad de gör i en formel, t.ex.

f(x) = 3x + 4

betyder att f är funktion som bla bla...

Vi har också notationen t.ex. f(1) som betyder att vi stoppar in 1 i funkionen f, och f(1) står då för det vi får ut, tex. med funktionen ovan så bla bla... är f(1) = 7.

Och så vidare.

Ja det har du nog, men hamnar man på natur- eller teknikprogrammet så brukar det mesta fungera för lite drygt en tredjedel lär sig själva ganska bra.

Detta fungerar väldigt bra om man redan är bekant med funktioner, som en alternativ förklaring. Det fungerar sällan i verkligheten och därför finns det typ ingen Ma B lärare som väljer att göra såhär. Tänk bara själv på hur din gamle lärare förklarade det för dig.

Eller så nöjer man sig med att säga att y är samma sak som f(x), inget mer krävs i Ma B, knappt Ma C och de kommer arbeta med det tillräckligt mycket för att bilda sig en uppfattning om funktionsbegreppet tids nog ändå. Samma som att barnen i mellanstadiet lär sig hantera bråk ganska bra utan att de ens fattar vad de håller på med, eller till och med simplare multiplikation. Algoritmerna (skriva av och repetera "copy paste") kommer tids nog leda till förståelse. y är samma sak som f(x) fungerar faktiskt väldigt bra.

Detta brukar fungera ganska fort, för man får såklart alltid frågan "vad skall vi med det här till?". Ja jo då är det ypperligt att visa hur fint det är att skriva tex f(1) eller f((x₁+x₂)/2) för att hitta symmetrilinjen. Då ser man genast en praktisk användbarhet för f(x) istället för y och det inre motståndet till evigt ny information blir mindre. Dessutom är elever väldigt bekanta med linjära funktioner sedan innan så då vidgar man bara ett begrepp men samtidigt lägger grunden till ett nytt begrepp. Tror de flesta redan färdigutbildade lärare håller med mig om detta.

Väldigt OT men samma princip:
När man introducerar olikheter kan man välja att berätta den exakta definitionen av hur skiljeteckerna för olikheter fungerar och säga att det är exakta motsatsen till likheter som likhetstecknet.

Eller helt enkelt säga att det är exakt samma sak som med likhetstecknet fast du vänjer på olikhetstecknet om man gångar eller delar med ett negativt tal. De är ändå inte så dumma att de inte fattar att 1 är mindre än 2. Frågar man dock om -87 är mindre än -89 brukar de få tänka till lite.

Vad som nu ger bäst förståelse beror säkert på eleven. I vilket fall tror man ofta att elever är smartare än man tror, för att man själv har glömt hur jävla dum man var för bara ett par år sedan.

Var allt jag hade att säga.

Angående y,x och f(x) så är väl det mest korrekta att f : x->y är beteckningen på funktionen f, x betecknar ett element i definitionsmängden och y ett element i värdemängden. Att y skulle beteckna funktionen bara för att värdet av funktionen givet ett x "hamnar" där låter helt fel i mina öron.

Jag tror faktiskt att en strikt matematik kan vara nyttig, när man väl vant sig vid att uttrycka sig exakt och i ett visst språk så kan det nog vara enklare än om man hela tiden ska dra halvlogiska flumbeskrivningar.

Således:
En funktion är en relation mellan två mängder som för varje element i den ena mängden ordnar ETT element i den andra mängden.

Snarare än:
En funktion är typ en låda där man stoppar in nåt och får ut nåt.

Sen får man såklart hålla sig ganska nära enkla exempel i sina tillämpningar.

Har man en stadig grund att stå på så blir man mindre osäker och kan lättare lära sig nya saker, det är min erfarenhet. Jag tycker f.ö. man märker att jag har rätt på många matematikelever. De flesta stressar för att lära sig metoden/"hur man gör för att få ut svaret" istället för att lära sig hur det fungerar. Samtidigt är det nog svårt att motivera högstadieelever (eller var man nu går från räkning till matematik) att lära sig mängdlära.