Approximera (1-1/k)^m

Jag vill approximera (1-1/k)^m på bästa sätt. Min förslag är (1-1/k)^m ≥ (exp(-1/k))^m = exp(-m/k)

Nu vill jag hitta en så bra som möjligt övre gräns också, som är bättre än 1. Tips?

edit: en parentes föll bort i all upphetsning

Går inte olikheten där åt fel håll? Så att det du har är en övre gräns, och du söker en undre gräns?

Edit: Och en undre gräns ges tex av

(1-1/k)^m ≥ 1 - m/k

fast den är förstås ganska värdelös om m > k.

Jag håller inte med. T ex ett numeriskt test påvisar motsatsen


Så riktningen är korrekt tror jag faktiskt, såvida jag har inte missat någon konstant n, dvs. (exp(-n/k))^m.

Edit: hade missat en konstant!

Förstår inte vad för konstant du pratar om, men som jag ser det så är felet att Python avrundar nedåt vid heltalsdivision:

Sedär, du har ju helt och hållet rätt!

Var ett tag sedan jag hade analysen Funkar det här argumentet?

x = 1/k, k > 1
exp(-x) = 1 - x + x^2/2 - x^3/6 + ... = 1 - x + g(x)
g'(x) = x - x^2/2 + ... = 1 - exp(-x), som är strängt stigande, eller avtagande med k. Felet går mot noll då k -> oändligheten. x = 1 ger att exp(-x) > (1-x). Så exp(-1/k) ≥ (1-1/k) för k > 1.

Om jag förstår dig ätt så är det följande du säger:

Låt g(x) = exp(-x) + x - 1. Då är g'(x) = 1 - exp(-x), vilket är positivt för x > 0 och negativt för x < 0. Vidare är g(0) = 0, och ur detta följer att g(x) ≥ 0 överallt.

I så fall så fungerar resonemanget ypperligt.

Exakt.

De båda gränserna löste problemet. Tack för hjälpen!