Matteuppgift om avstånd

Suppose a ∈ ℝⁿ, b ∈ ℝⁿ. Find c ∈ ℝⁿ and r > 0 such that
|x - a| = 2|x - b|
if and only if |x - c| = r

Ett tips på hur man ska ta sig vidare i uppgiften hade varit snällt .

Facit på uppgiften finns, dock ingen förklaring.

Försöker se vad figurerna föreställer... a,b och c är alltså vektorer med reella koefficienter i rummet med n dimensioner?

r är en konstant större än 0? eller är det en vektor skild från 0-vektorn?

så ekvationerna blir en fråga om längderna på vektorer? right?

r är en konstant. Jag har markerat vektorerna med fetstil.

Hmm... Jag ska försöka hitta ett uttryck för c och r i a och b

Jag kan tala om i vilka banor jag tänker

Jag börjar med att utgå från att |x - c| = r < |x - b|

(1) |x - b| - |x - c| ≤ |c - b| ≤ |x - c| + |x - b|
(2) 2|x - b| - |x - c| = |x - a| - |x - c| ≤ |c - a| ≤ |x - c| + |x - a| = |x - c| + 2|x - b|

Jag drar bort (1) från (2) och får

|x - b|≤ |c - a| - |c - b| ≤ |x - b|
⇒
|c - a| - |c - b|=|x - b|

Sen vet jag inget mer... Jag kan förstås vara helt ute och cyklar (typiskt mig ).

EDIT: såg räknefel som jag ändrat

Konstig uppgift, men du har ingen nytta av triangelolikheten eller Cauchy-Schwarz olikhet då?

Triangelolikheten har jag ju använt.. C-S olikheten har jag ingen aning om hur jag ska använda... Får fundera vidare

Det känns som jag är ute på ganska djupt vatten, men finns det verkligen ett r och c som uppfyller det där? Jag kommer fram till att det inte borde göra det, men jag kanske är ute och cyklar.

rejkan
Jag har ju ett svar i facit, så det borde finnas.

För bakgrund, googla "Circle of Apollonius".

Hursomhelst är ekvationen ekvivalent med

|x - a|² = 4 |x - b|²

det vill säga

(x1 - a1)² + (x2 - a2)² + (x3 - a3)² = 4(x1 - a1)² + 4(x2 - b2)² + 4(x3 - b3)²

vilket, om man utvecklar allt och kvadratkompletterar lite, man kan läsa av som en cirkel, med nån mittpunkt och nån radie.

dbshw
Tusen tack. Nu löste jag uppgiften .

Fast det vorde väll fortsätta till ^n? Eller var det i R^3 som det gällde, enligt uppgiften var det väll R^n?

Ni får gärna posta hela lösniningen då jag är intresserad av hur den ser ut.

Ja det har du rätt i. Läste frågan lite snabbt där. Hursomhelst så gör symmetrin i koordinaterna att samma lösning fungerar i det R^n-fallet.

Lösningen skulle se ut: (Varje rad är ekvivalent med nästkommande rad, summor går från i=1 till i=n, a och b (men inget annat) är vektorer)

|x - a| = 2|x - b|

|x - a|² = 4|x - b|²

(x_1 - a_1)² + ... + (x_n - a_n)² = 4(x_1 - b_1)² + ... + 4(x_n - b_n)²

Σ_i(4(x_i - b_i)² - (x_i - a_i)²) = 0

Σ_i(3x_i² + (2a_i - 8b_i)x_i + (4b_i² - a_i²)) = 0

Σ_i(x_i² + (2a_i - 8b_i)x_i/3 + (4b_i² - a_i²)/3) = 0

Σ_i( (x_i - (4b_i - a_i)/3)² + (4b_i² - a_i²)/3 - (a_i - 4b_i)²/9) = 0

Σ_i( (x_i - (4b_i - a_i)/3)² + (-4b_i² - 8a_i b_i - 4a_i²)/9 = 0

Σ_i( (x_i - (4b_i - a_i)/3)² - 4 (b_i - a_i)² / 9

|x - (4b - a)/3|² = 4 |b - a|² / 9

|x - (4b - a)/3| = 2 |b - a| / 3

vilket alltså är en hypersfär med centrum (4b - a)/3 och radie 2|b - a|/3.

Jaha.
Jag använde att:
|f+g|² = (f+g)²

Så ekv blev

x² - 2ax + a² = 4x² - 8bx + 4b²
⇔
3x² + (2a - 8b)x = a² - 4b²
⇔
(x + (a - 4b)/3)² = (a² - 4b²)/3 + ((a - 4b)/3)²
⇔
|x + (a - 4b)/3|² = 4/9 (a - b)^2 = 4/9 |a - b|^2
⇔
|x - (4b - a)/3| = 2/3 |a - b| = r