Trigonometrisk ekvation - Förbättra lösning

Har i uppgift att lösa ekvationen:

1 + 1/sinx + 1/cosx = 1/(1+sinx+cosx)

Man ska utgå ifrån och förbättra denna lösningen:

http://kth.nti.se/Lib/IMG.asp?ID=15&pt=1&fn=Elin.gif

Vore oerhört tacksam om jag fick hjälp då jag inte kommer längre än lösningen som skall förbättras!

Jag utgår från att lösningen fram till näst sista raden är korrekt utförd. Det är för besvärligt att räkna själv.

Du har väl
(cos x + sin x)(cos x + sin x + 1 + sin x · cos x)=0
Då vet vi att antingen är sin x + cos x = 0, eller så är cos x + sin x + 1 + sin x · cos x = 0.
Det första alternativet är lätt lösbart, det andra förenklas...

cos x ·(1 + sin x) + 1 + sin x = 0 ⇒ (cos x + 1)(sin x + 1)=0 ⇒ cos x = -1 eller sin x = -1.