komplex polynom ekvation

(z-2i)^3 –2(z-2i) – 4 = 0
Har roten z-1+3i bestäm ytterligare en rot till ekvationen svar i formen z= a+ib

Har provat men kommer ingen vart
Hur ska jag ta mig an problemet
〖(z+2i)〗^3-2(z-2i)-4=0
Har roten z=-1+3i bestäm ytterligare en rot.
〖(z+2i)〗^3-2(z-2i)-4=0
Har förenklat ekvationen genom att röka ut den
z^3-6z^2-14z-12i-4

z=-1-3i => z+1-3i
försök gör en polynomdivision men der inte ut att fungera

Utför korrekt polynomdivision med (z -(-1 + 3i)) och du får det reducerade polynomet z² - (1+3 i)z - 4 och dennas rötter kan du lösa med hjälp av antingen PQ-formeln eller kvadratkomplettering.

URSÄKTA
(z-2i)^3 –2(z-2i) – 4 = 0
Har roten (FEL z-1+3i) bestäm ytterligare en rot till ekvationen svar i formen z= a+ib

Har roten rätt z= - 1+3i bestäm ytterligare en rot till ekvationen svar i formen z= a+ib

men det blir väll ändå (z -(-1 + 3i))

Du skriver väldigt osammanhängande och det är svårt att förstå vad du vill få fram. Men det viktiga här är faktorsatsen, låt f(z) vara ett polynom, om det gäller att f(α) = 0 så är (x - α) en ingående faktor i f(z).

f(z) = (z-2i)³–2(z-2i)–4 = 0
En rot är z = -1+3i

om f(-1+3i) = 0 så är säger faktorsatsen att (z+1-3i) är en äkta delare till f(z), annars är det inget nollställe till f(z).

Skall vi nu kunna utföra polynomdivision korrekt måste vi utveckla alla potenser:

(z-2i)³–2(z-2i)–4 = 0
⇔
z³-6iz²-12z+8i-2z+4i-4 = 0
⇔
z³-6iz²-14z+12i-4 = 0

Polynomdivisionen ger:

(z³-6iz²-14z+12i-4)/(z+1-3i) = z²+(-1-3i)z-4

Enda sättet att lösa denna är att kvadratkomplettera, p/q formeln kommer att ge ett uttryck med roten ur i, vilket är icke önskvärt, det säger alltså lika lite som polynomet gör redan nu.

Kvadratkomplettering:

z²+(-1-3i)z-4 = 0

Halvfärdig kvadratkomplettering:

(z+((-1-3i)/2))²-4

Utvecklar potensen:

(z+((-1-3i)/2))² = z²+(-1-3i)z+(-2+3i/2)

⇔

(z+((-1-3i)/2))²-(-2+3i/2) = z²+(-1-3i)z

Fortsätter:

z²+(-1-3i)z-4 = 0
⇔
(z+((-1-3i)/2))²-(-2+3i/2)-4 = 0
⇔
(z+((-1-3i)/2))² = (-2+3i/2)+4
⇔
(z+((-1-3i)/2))² = 2+3i/2

Det okända komplexa talet z har vissa egenskaper, som vi skall nyttja. Vi vet att z = a+bi och att real- och imaginärdelar måste vara lika, på båda sidor om likhetstecknet, annars stämmer inte likheten såklart.

Vi ansätter:

z+(-1-3i)/2 = a+bi
(z+((-1-3i)/2))² = (a+bi)² = a²+2abi-b²

Realdelen:

a²-b² = 2 (enligt kvadratkompletteringen)

Imaginärdelen:

2ab = 3/2

Realdelen och imaginärdelen måste vara lika på båda sidor, det ger oss ekvationsystemet:

Ekvationssystemet:

{a²-b² = 2
{2ab = 3/2

a = 3/4b

(3/4b)²-b²-2 = 0
9/16b²-b²-2 = 0
9-16b⁴-32b² = 0

Variabelsubstitution:

t = b²
9-16t²-32t = 0
⇔
-9/16+t²+2t = 0
t²+2t-9/16 = 0
t₁ = -9/4
t₂ = 1/4

Eftersom b skall vara ett reellt tal så gäller endast t₂ = 1/4, annars blir det en imaginär lösning när vi löser fortsättningen av ekvationen, det är ju en falsk fjärdegradare så att säga.

t = 1/4 = b²
⇔
b = ±0.5

Tillbaka till ekvationssystemet:
Sätter in värdet på b, som vi vet sedan ovan.

a = 3/2
eller
-a = 3/2
⇔
a = -3/2

Alltså
a = ±3/2

2ab = 3/2 säger också att a och b har samma tecken hela tiden i de två olika rötterna, annars hade inte 3/2 varit positivt.

Vi vet nu att:

b = ±0.5
a = ±3/2

Tillbaka till vad vi antog i ansättningen:

z+(-1-3i)/2 = a+bi
z = -(-1-3i)/2+a+bi
z = 1/2+3i/2+a+bi

Vi vet ju nu vad a och b är:

z₁ = 1/2+3i/2+3/2+0.5i = 2+2i
z₂ = 1/2+3i/2-3/2-0.5i = -1+i

Svar:
Polynomet (z-2i)³–2(z-2i)–4 har nollställena

z₁ = 2+2i
z₂ = -1+i
z₃ = -1+3i

Alternativ form av polynomet:
(z-2-2i)(z+1-i)(z+1-3i) = (z-2i)³–2(z-2i)–4

Klar.

Det går endast med kvadratkomplettering inte PQ-formeln, samt att utnyttja likheterna mellan real- och imaginärdelen för att således skapa ett ekvationssystem där man löser ut a och b.

Det viktigaste är nog att man är extremt smart, väldigt duktig på matematik eller faktiskt haft utbildning på hur man löser sådana här uppgifter med kvadratkompletteringslösning av polynom med komplexa koefficienter. Det tar väldigt lång tid att lösa sådana här, faktorsatsen är ganska basic och ger inte så mycket i just detta fallet.

Det är möjligt att lösa med PQ-formeln - man får i princip antingen använda ekvationssystem på det sättet du gör eller gå över till polär form och utnyttja de Moivres. Huruvida det är ett bra tillvägagångssätt har jag ingen åsikt om, men det är absolut möjligt.

Det jag ville få fram är hur delaren ser ut, nämligen (z - α) när f(α) = 0, något TS verkade förvirrad över..

Du måste kvadrera för att få bort roten ur i, då är man ju tillbaka på ruta ett så att säga. Du kanske kan visa ett exempel på hur man gör? För jag förstår inte hur man skall göra det isf, roten ur i säger ingenting som sagt.

Jaha okey, ja det ser jag nu, det har du rätt i.

Kan visa på ovanstående exempel hur man skulle kunna göra:

z² -(1 + 3i)z - 4 = 0 ⇔ z = (1 + 3i)/2 ± √((1 + 3i)²/2 + 4) = (1 + 3i)/2 ± √(2 + 3i/2)

Vi söker här ett komplext tal a + bi som uppfyller (a + bi)² = 2 + 3i/2. Vi får:

{ a² - b² = 2
{ 2abi = 3i/2

Löser man ekvationssytemet får man att a = ± 3/2 och b = ± 1/2 men eftersom vi redan har täckt upp båda fallen med ± innan rotsymbolen räcker det med att vi väljer en av lösningarna.

z = (1 + 3i)/2 ± (3 + i)/2 och ur detta får vi z₁ = 2 + 2i samt z₂ = -1 + i.