komplex polynom ekvation

Har rot med real- och imaginärdel lika.
z^3-2z^2-6z-8=0
Söker reella roten
Efter som real- och imaginärdel lika kan man sätta.
Z=(t+it)
Sätter in det i ekvationen och räknar.

Plockar i hopp imaginär delen och reella delen för sig
Reella
-2t^3-6t - 8 =0
imaginär del
2it^3-4it^2-6it = 0
Räknar ut imaginär del, med nollprudukmetoden och sedan kvadratkompletterar och får.
t= -1 t=3
sätter in det i Reella delen -2t^3-6t - 8 =0 och kommer fram till att -1 fungerar.
Sedan vill jag använda faktorsattsen
Lite osäker här
z = 1 z = -1 0= (-z-1) 0=(1-z) => (-z-1)(1-z)= (z^2+1)
sedan dividerar man ekvationen med faktorisering resultatet
z^3-2z^2-6z-8/(z^2+1)
Å jag klarar inte av att lösa divisionen och att få den gå ut

Det blev väldigt fult men hoppas du förstod.

http://img257.imageshack.us/img257/6809/division.jpg

Eftersom t=-1 har du fått fram två lösningar till ekvationen:

z1 = -1 - i och z2 = -1 + i

Faktorsatsen säger att p(z) = z^3-2z^2-6z-8 = (z-z1)(z-z2)(z-z3).

Det enklaste sättet att bestämma z3 är därför att se att -z1*z2*z3 = -8

vilket ger z3=4


Alternativt kan du ju utföra polynomdivisionen (z^3-2z^2-6z-8) / ((z-z1)(z-z2)) = (z-z3),
men det är onödigt jobbigt.

En annan metod
f(z) = z³-2z²-6z-8 = 0
Real- och imaginärdel är lika i nollstället till polynomet.

Då vet vi att en lösning är (a+ai) samt att en lösning är (a-ai) eftersom vi har reella koefficienter.

Vi ansätter en lösning där z = a+ai, för att beräkna värdet på a.

Ansättning:

f(a+ai) = (a+ai)³-2(a+ai)²-6a-6ai-8 = a³+3a³i-3a³-a³i-2(a²+2a²i-a²)-6a-6ai-8 =
-2a³+2a³i-4a²i-6a-6ai-8

Eftersom hela f(a+ai) skall vara noll, måste imaginärdelen och realdelen också vara det.
Realdelen:

-2a³-6a-8 = 0

Imaginärdelen:

2a³-4a²-6a = 0

Ekvationssystemet:

I {-2a³-6a-8 = 0
II {2a³-4a²-6a = 0

II -4a²-12a-8 = 0

Löser andragradaren: Delar med -4 först

a²+3a+2 = 0
a = 3/2±√((9/4)-8/4)
a = 3/2±√(1/4)
a = (3±1)/2
a₁ = 2
a₂ = 1

Eftersom vi inte vet om a är positiva eller negativa reella så får vi pröva lösningen. Nu får vi pröva lösningen, antingen stämmer ±(2+2i) eller ±(1+i) och även dess konjugat stämmer, eftersom det är reella koefficienter.

Efter prövning ser vi att -1±i är en lösning.

(z+1-i)(z+1+i) = z²+z+zi+z+1+i-zi-i+1 = 1+1 = z²+2z+2

z²+2z+2 är då en delare till f(z), väldigt lätt utförd polynomdivison.

Tack
provade först med en vanlig polynom division, då vart det svårt satte sedan upp det i trappan.
och löste det z-4 z-4=0

z= 4 är det ok som ekvationens reella rot
om man testar det i ekvationsonen så stämmer det

Ja det är okey, om det nu var en fråga du ställde.

z₁ = -1+i
z₂ = -1-i
z₃ = 4

Ser ju även här att det stämmer:
http://www.wolframalpha.com/input/?i...z%2B1%2Bi)(z-4)

Om man tittar på alternate form längre ner.