[MA.B] Beräkna en produkt

Undrar om någon här kan hjälpa mig med detta tal. förklara helst stegvis så pedagogiskt som möjligt. Det jag främst vill ha reda på är hur man går till väga för att lösa uppgiften, utan att nöta väldigt länge, jag menar det måstre finnas ett enklare sätt.



http://j.imagehost.org/0175/l044e.jpg



stort tack till de som hjälper

(1 - 1/2)·(1 - 1/3)· ... ·(1 - 1/50) =
(1/2)·(1/3)· ... ·(1/50)· (2 - 1)·(3 - 1)· ... ·(50 -1) =
(1/2)·(1/3)· ... ·(1/50)·(1·2·...·49) =
(1·2·3· ... ·49)/(1·2·3· ... ·50) = 1/50

(1-1/2)·(1-1/3)·...·(1-1/50)=
((2-1)/2)·((3-1)/3)·...·((50-1)/50)=
(1/2)·(2/3)·...·(49/50)=
(1·2·...·49)/(2·3·...·49·50)=
1·(2/2)·(3/3)·...·(49/49)·(1/50)=
1·1·...·1·1/50=
1/50

Går det och härleda resultatet på något annat sätt? För jag fattar inte riktigt vad som sker.

Känner du inte till att (a/b)·(c/d)=(ac)/(bd) ?

Jag känner till det, men förstår inte vad som sker. Går det och förtydliga, går det och beskriva vad som sker och varför med ett par rader text,

Ja, du kan härleda resultatet rent allmänt. Vi skriver produkten:

∏ (1 - 1/k) från 2 till k

Här ovan innebär ∏ "produkt". Exempelvis ∏ k från 1 till 5 skulle betyda ∏ k = 1·2·3·4·5.

∏ (1 - 1/k) = ∏ (1/k)(k - 1) från 2 till n = (1/2)·1·(1/3)·(2)·...·(1/n)·(n -1) = (2·3·...·(n-1))/(2·3·...·n) = 1/n

Alltså är produkten ∏ (1 - 1/k) från 2 till n = 1/n. Lite överkurs, men kul med lite kuriosa.

(1 - 1/2)·(1 - 1/3)· ... ·(1 - 1/50) =
(1/2)·(1/3)· ... ·(1/50)· (2 - 1)·(3 - 1)· ... ·(50 -1) =
(1/2)·(1/3)· ... ·(1/50)·(1·2·...·49) =
(1·2·3· ... ·49)/(1·2·3· ... ·50) = 1/50

Rad 1: Skriver upp produkten.
Rad 2: Bryter ut varje bråk ur varje produkt.
Rad 3: Förenklar det inom varje parentes.
Rad 4: Delar upp i täljare och nämnare, förkortar bort.

Känner ni till något närbesläktat problem, ett känt problem med samma eller liknande obekanta storhet.
Eller kan man införa någon hjälpkonstruktion som skulle kunna underlätta förståelsen?
För jag förstår fortfarande inte.

Om du tittar på antingen min eller Offsures lösning, den som du tycker verkar vara enklast, var exakt förstår du inte? Enklare isåfall för oss att försöka förklara vidare.

Det är mycket jag inte förstår. Om vi börjar på Rad 2. Här så bryter du ut varje bråk ur varje produkt (2 - 1)·(3 - 1)· ... ·(50 -1). Varför gör man det? Och om tittar på det första produkten av de tal som ska multipliceras: (1-(1/2)) vilket blir (om man beräknar den subtraktionen) (1/2) och så skriver du att det blir: (2-1) vilket blir 1. Utveckla gärna rad 2 så mycket som möjligt för jag är inte med på vad som händer.

Du har ((2-1)/2)·((3-1)/3)·...·((50-1)/50). Om vi tittar närmre så ser vi att ((2-1)/2) = (1-1/2). Vidare så kan man skriva ((2-1)/2) = (2-1)*(1/2). Sedan gör man detta för varje term och flyttar om dessa.